特征多项式

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ Cayley–Hamilton推出
  特征多项式 + 伴随矩阵 $\implies$ Cayley–Hamilton

  记 $A \in M_n(K)$，考虑多项式矩阵 $B(x) := xI - A \in M_n(K[x])$，以及它的伴随矩阵

  $$\operatorname{adj} B(x) = \bigl( C_{ji}(x) \bigr), \qquad \deg C_{ji} \le n - 1$$

  1. 由伴随矩阵的基本等式（见「Laplace 展开」）$B(x) \operatorname{adj} B(x) = \det B(x)\, I = \chi_A(x)\, I$。
  2. 把 $\operatorname{adj} B(x)$ 按 $x$ 的幂展开：$\operatorname{adj} B(x) = \sum_{k=0}^{n-1} B_k\, x^{k}$（$B_k \in M_n(K)$）。代入第 1 步并比较 $x$ 的各次系数，得到一串矩阵等式

  $$B_0 = -A B_0, \qquad B_k = -A B_k + B_{k-1}, \qquad \cdots$$

  1. 把第 $k$ 个等式左乘 $A^{k}$ 并全部相加 —— 中间项全部相消，只剩

  $$0 = A^{n} + c_{n-1}A^{n-1} + \cdots + c_0 I = \chi_A(A)$$

  （其中 $\chi_A(x) = x^{n} + c_{n-1}x^{n-1} + \cdots + c_0$。）∎

  一般算子 $T$ 的情形：取一组基把它写成 $A$，把上式翻译回算子语言即可。

  第 3 步「中间项全部相消」是全部技巧：那一串等式被设计成望远镜式（$A^{k} B_k - A^{k+1}B_{k-1}$ 型），所以相加之后只剩两头。

定义引用 2

• 迹 用到 本页定义引用

  迹是特征多项式 $x^{n-1}$ 的系数（差个符号）—— 两条边互为解释，这条说的是「迹由特征多项式定义」。

• 极小多项式 用到 本页定义引用

  极小多项式的集合 $I_T$ 非空，靠的是 Cayley–Hamilton（即 $\chi_T \in I_T$）。

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 行列式 → 本页定义引用

  特征多项式就是 $\det(xI - A)$ —— 行列式在这里第一次被用到「变量是矩阵」的场合。

• 多项式环 → 本页定义引用

  $\det(xI - A)$ 的结果落在 $K[x]$ 里，是多项式环的元素。