Jordan 型的唯一性

推论：Jordan 型在块的排列之外唯一

推论
依赖深度 layer 17
抽象代数
特征值与 Jordan 型

cor.jordan-uniqueness · 推论 · 线性代数 · 谱 · 标准形

陈述

Jordan 标准形在「Jordan 块的排列顺序」之外是唯一的，即 $A \sim B$ 当且仅当 $A$ 与 $B$ 有相同的 Jordan 型（不计块的次序）：

A \sim B \iff \mu_A(\lambda) = \mu_B(\lambda) \ \ (\forall \lambda)

更定量地：对每个特征值 $\lambda$ ，Jordan 块的尺寸构成一个分拆 $\mu(\lambda)$ ；两个矩阵相似当且仅当对每个 $\lambda$ 都有 $\mu_A(\lambda) = \mu_B(\lambda)$ 。

说明

⭐ 唯一性的实用形式：块的个数 = 几何重数（ $\dim E_\lambda$ ）、块的最大尺寸 = $\lambda$ 在极小多项式里的次数、尺寸之和 = 代数重数。于是「相似分类」被压缩成一组整数的分拆数据。

⭐ 由此得到一条漂亮的推论： $A$ 幂零（ $A^{k} = 0$ 对某 $k$ ） $\iff$ 它的特征值只有 $0$ $\iff$ 它的特征多项式是 $x^{n}$ 。

⚠ 「不计块的次序」是必须的：Jordan 形是按特征值与块的排列写的，重排块给出同一个算子的另一种写法（换个基而已）。

谁指向它（入边）

推出 1

Jordan 标准形、相似 ⟹ 本页推出

Jordan 形 $\implies$ 相似分类
Jordan 形是由「 $V$ 的一组基」给出的，所以每个算子都有一个 Jordan 形 —— 剩下的问题是唯一性。
1. 不变量：Jordan 形只依赖算子的相似类，因为它是用「核链的维数」造出来的。具体地，对每个特征值 $\lambda$ 与每个 $k$ ，
$\dim \ker (T - \lambda I)^{k}$
是相似不变量（由 $T$ 本身决定，与基无关），而「尺寸 $\ge k$ 的 Jordan 块个数」正好等于 $\dim \ker(T - \lambda I)^{k} - \dim \ker (T - \lambda I)^{k-1}$ 。
1. 唯一性：由第 1 步，Jordan 块的尺寸分布 $\mu(\lambda)$ 完全由这些核的维数决定，因此不依赖基的选取；反过来，若两个算子有相同的 $\mu(\lambda)$ （对一切 $\lambda$ ），则它们可以配成同一个 Jordan 型的两个写本，从而是同一个算子在两组基下的矩阵，即相似。∎
证明的思路是「先造一个不变量，再证明它把类分完」—— 这也是所有分类定理的标准套路（与「基的势是唯一的」那条如出一辙）。

参考

Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 7

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