迹

迹 $\operatorname{tr} A$ （Trace）

定义
依赖深度 layer 14
抽象代数
特征值与 Jordan 型

def.trace · 定义 · 线性代数 · 谱

陈述

对方阵 $A = (a_{ij}) \in M_n(K)$ ，定义迹为对角线之和：

\operatorname{tr} A := \sum_{i=1}^{n} a_{ii}

基本性质：

$\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr} A + \operatorname{tr} B$ ， $\operatorname{tr}(cA) = c\operatorname{tr} A$ （线性）；
$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ ，于是 $\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr} A$ （相似不变）；
$\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA)$ （循环不变）。

说明

⭐ 迹是最便宜的不变量： $O(n)$ 就算出来，却已经能区分不少矩阵（比行列式便宜得多）。

⭐ 它的深层含义： $\operatorname{tr}$ 是矩阵代数的唯一的（差常数倍）中心线性泛函，也是「 $K^{n}$ -代数到 $K$ 的迹型」—— 在 Galois 理论、特征类里都会再遇到。

⚠ 「相似不变」比「循环不变」弱： $\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(A P^{-1} P) = \operatorname{tr}A$ 只是循环不变的特例。反之迹相同不蕴含相似（ $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 与零矩阵迹都是 $0$ 而不相似）。

谁指向它（入边）

定义引用 1

特征多项式 → 本页定义引用

迹是特征多项式 $x^{n-1}$ 的系数（差个符号）—— 两条边互为解释，这条说的是「迹由特征多项式定义」。

参考

Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 6

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