相似

相似（Similarity）

定义
依赖深度 layer 12
抽象代数
特征值与 Jordan 型

def.similarity · 定义 · 线性代数 · 谱

陈述

两个方阵 $A, B \in M_n(K)$ 叫相似，记 $A \sim B$ ，当且仅当存在可逆矩阵 $P$ 使

B = P^{-1} A\, P

$P$ 叫过渡矩阵。相似的等价说法： $A$ 与 $B$ 是同一个线性映射在两组基下的矩阵。

相似的不变量：秩、迹、行列式、特征多项式（从而特征值与它们的代数重数）、极小多项式。

说明

⭐ 相似是等价关系（自反 / 对称 / 传递），所以 $M_n(K)$ 被分成相似类；分类问题就是「描述所有相似类」。

⭐ 两个世界对同一个问题的两种说法：矩阵侧是「 $B = P^{-1}AP$ 」，映射侧是「同一个 $T$ 、两组基」。图上两条边（thm.change-of-basis 与 dep.linearmap-similarity）说的就是这件事。

⚠ 相似比等价（ $B = PAQ$ ）严格：等价只要求秩相同，相似还要求特征多项式相同。 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 与 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 等价但不相似。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Jordan 型的唯一性推出

Jordan 形 $\implies$ 相似分类
Jordan 形是由「 $V$ 的一组基」给出的，所以每个算子都有一个 Jordan 形 —— 剩下的问题是唯一性。
1. 不变量：Jordan 形只依赖算子的相似类，因为它是用「核链的维数」造出来的。具体地，对每个特征值 $\lambda$ 与每个 $k$ ，
$\dim \ker (T - \lambda I)^{k}$
是相似不变量（由 $T$ 本身决定，与基无关），而「尺寸 $\ge k$ 的 Jordan 块个数」正好等于 $\dim \ker(T - \lambda I)^{k} - \dim \ker (T - \lambda I)^{k-1}$ 。
1. 唯一性：由第 1 步，Jordan 块的尺寸分布 $\mu(\lambda)$ 完全由这些核的维数决定，因此不依赖基的选取；反过来，若两个算子有相同的 $\mu(\lambda)$ （对一切 $\lambda$ ），则它们可以配成同一个 Jordan 型的两个写本，从而是同一个算子在两组基下的矩阵，即相似。∎
证明的思路是「先造一个不变量，再证明它把类分完」—— 这也是所有分类定理的标准套路（与「基的势是唯一的」那条如出一辙）。

谁指向它（入边）

定义引用 1

基变换与相似 → 本页定义引用

相似的定义 $B = P^{-1}AP$ 就是「换基公式」写成矩阵的样子。

参考

Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 6

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