Jordan 标准形

定理（Jordan）：代数闭域上的相似标准形

定理
依赖深度 layer 16
抽象代数
特征值与 Jordan 型

thm.jordan-canonical-form · 定理 · 线性代数 · 谱 · 标准形

陈述

设 $K$ 代数闭、 $T : V \to V$ ， $\dim V < \infty$ 。则存在 $V$ 的一组基，使 $T$ 的矩阵是分块对角的

J = \begin{pmatrix} J_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & J_{s} \end{pmatrix}, \qquad J_{k} = \begin{pmatrix} \lambda_{k} & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda_{k} \end{pmatrix}

每个 $J_k$ 是形如 $\lambda_k I + N_k$ 的Jordan 块（ $N_k$ 是幂零的「上移位」矩阵）。

等价说法： $T$ 可对角化 $\iff$ 所有 Jordan 块都是 $1 \times 1$ 。

说明

⭐ 这是有限维线性代数唯一的完整分类定理：代数闭域上「相似」由 Jordan 型完全决定（块的大小与特征值的分布）。它同时给出了「相似不变量」的完整清单。

⭐ 证明的两半：主分解（按特征值拆）＋在每个根子空间上对幂零算子 $N = T - \lambda I$ 取「 $\ker N^{k}$ 的链」并逐层补基（这一步用 def.quotient-vs 与归纳）。

⚠ 三个前提都在：代数闭（否则没有 $\lambda$ ）、有限维（否则可能连特征值都没有）、 $K$ 是域。 $\mathbb{R}$ 上只能用「实 Jordan 形」或改走有理标准型（thm.rational-canonical-form）。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Jordan 型的唯一性推出

Jordan 形 $\implies$ 相似分类
Jordan 形是由「 $V$ 的一组基」给出的，所以每个算子都有一个 Jordan 形 —— 剩下的问题是唯一性。
1. 不变量：Jordan 形只依赖算子的相似类，因为它是用「核链的维数」造出来的。具体地，对每个特征值 $\lambda$ 与每个 $k$ ，
$\dim \ker (T - \lambda I)^{k}$
是相似不变量（由 $T$ 本身决定，与基无关），而「尺寸 $\ge k$ 的 Jordan 块个数」正好等于 $\dim \ker(T - \lambda I)^{k} - \dim \ker (T - \lambda I)^{k-1}$ 。
1. 唯一性：由第 1 步，Jordan 块的尺寸分布 $\mu(\lambda)$ 完全由这些核的维数决定，因此不依赖基的选取；反过来，若两个算子有相同的 $\mu(\lambda)$ （对一切 $\lambda$ ），则它们可以配成同一个 Jordan 型的两个写本，从而是同一个算子在两组基下的矩阵，即相似。∎
证明的思路是「先造一个不变量，再证明它把类分完」—— 这也是所有分类定理的标准套路（与「基的势是唯一的」那条如出一辙）。

谁指向它（入边）

推出 1

根子空间分解、因式定理与根 ⟹ 本页推出

根子空间分解 + 幂零块 $\implies$ Jordan 标准形
1. 由主分解， $V = \bigoplus_i V_i$ ，每个 $V_i$ 是 $T$ -不变的，且 $T|_{V_i} = \lambda_i I + N_i$ ，其中
$N_i := (T - \lambda_i I)|_{V_i}$
是幂零的（因为 $V_i = \ker (T - \lambda_i I)^{m_i}$ ）。只要在每个 $V_i$ 上把幂零算子化成标准形，拼起来就是 Jordan 形。
1. 幂零算子的标准形：设 $N$ 在有限维空间 $W$ 上幂零。对 $k = 1, 2, \ldots$ 有链
$\{0\} \subseteq \ker N \subseteq \ker N^{2} \subseteq \cdots \subseteq \ker N^{s} = W$
归纳地：从最后一层 $\ker N^{s}$ 里取一组基，映到商 $\ker N^{s}/\ker N^{s-1}$ 上；在商里按同样办法取基并拉回，逐层拼出一组基，使 $N$ 在其中表现为若干「上移位」块 $N_k$ （对角线为 $0$ 、上对角为 $1$ ）。
1. 拼装：把每个 $V_i$ 里得到的基拼成 $V$ 的基。在这组基下 $T$ 的矩阵：在第 $i$ 块上是 $\lambda_i I + N_i$ ，即若干 Jordan 块之并，各块的特征值为 $\lambda_i$ 。
$T$ 可对角化 $\iff$ 每个 $N_i = 0$ $\iff$ 每个 $V_i = E_{\lambda_i}$ $\iff$ 所有块是 $1 \times 1$ 。∎
第 2 步（幂零算子的分层取基）是整条定理唯一的构造性部分；其余两半都是「把已知分解拼起来」。这也解释了为什么 Jordan 型的计算本质上只是「求若干核链」。

参考

Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 7
Lang, Algebra, Ch. XIV

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