因式定理与根

对 $n = \deg f$ 归纳，同时证明「可提出重数」的精确形式。

存在性：若 $f$ 在 $K$ 中没有根，取 $m = 0$、$h = f$ 即可。否则取一个根 $a_1$，由因式定理 $f = (x - a_1) f_1$，其中 $\deg f_1 = n - 1$。对 $f_1$ 归纳，得 $f_1 = (x - a_2)^{e_2} \cdots h$；再把 $a_1$ 的重数补足（若 $f_1$ 也以 $a_1$ 为根则继续除）。

次数估计：每一步除法都让次数降 1，而左边总次数是 $n$，所以 $e_1 + \cdots + e_m \le n$。特别地互异根的个数 $m \le n$。∎

设 $p(z) = a_n z^{n} + \cdots + a_0$，$n \ge 1$，$a_n \ne 0$。

1. 在某个闭圆盘上取到最小模：由 $|p(z)| \ge |a_n||z|^{n} - \sum_{k < n} |a_k||z|^{k}$，当 $|z| \to \infty$ 时 $|p(z)| \to +\infty$；特别地存在 $R$ 使 $|z| > R$ 时 $|p(z)| > |p(0)|$。于是 $z \mapsto |p(z)|$ 在紧集 $\{|z| \le R\}$ 上取到最小值（最值定理，用到 $\mathbb{R}$ 的完备性 + 紧性），而它在盘外不可能更小。记最小值点为 $z_0$，$m := |p(z_0)|$。
2. 若 $m > 0$ 则矛盾：记 $w := z - z_0$，把 $p$ 在 $z_0$ 处展开成 $w$ 的多项式：

（$k$ 是第一个非零项的阶。）取 $w = t\,\zeta$，其中 $\zeta^{k} = -p(z_0)/c_k$ 的一个 $k$ 次方根、$t > 0$ 很小。由复数开 $k$ 次方，这样的 $\zeta$ 总存在。则

对充分小的 $t$ 成立，与 $z_0$ 的最小性矛盾。

1. 故 $m = 0$，即 $p(z_0) = 0$：$p$ 有根。
2. 归纳得完全分解：由因式定理 $p = (z - z_0) p_1$，$\deg p_1 = n - 1$，对 $p_1$ 重复第 1–3 步，$n$ 步之后 $p$ 分解成 $n$ 个一次因子之积（常数因子提到最前）。
3. 唯一性：由 $K[x]$ 是唯一分解整环（同一次序与常数因子之外唯一），也由「根的个数不超过次数」直接得到。∎

1. 由主分解，$V = \bigoplus_i V_i$，每个 $V_i$ 是 $T$-不变的，且 $T|_{V_i} = \lambda_i I + N_i$，其中

是幂零的（因为 $V_i = \ker (T - \lambda_i I)^{m_i}$）。只要在每个 $V_i$ 上把幂零算子化成标准形，拼起来就是 Jordan 形。

1. 幂零算子的标准形：设 $N$ 在有限维空间 $W$ 上幂零。对 $k = 1, 2, \ldots$ 有链

归纳地：从最后一层 $\ker N^{s}$ 里取一组基，映到商 $\ker N^{s}/\ker N^{s-1}$ 上；在商里按同样办法取基并拉回，逐层拼出一组基，使 $N$ 在其中表现为若干「上移位」块 $N_k$（对角线为 $0$、上对角为 $1$）。

1. 拼装：把每个 $V_i$ 里得到的基拼成 $V$ 的基。在这组基下 $T$ 的矩阵：在第 $i$ 块上是 $\lambda_i I + N_i$，即若干 Jordan 块之并，各块的特征值为 $\lambda_i$。

$T$ 可对角化 $\iff$ 每个 $N_i = 0$ $\iff$ 每个 $V_i = E_{\lambda_i}$ $\iff$ 所有块是 $1 \times 1$。∎

设 $a \in K$。把 $f$ 除以 $x - a$（首一，故带余除法适用）：

即 $r \in K$ 是常数。把 $x = a$ 代入两边：$f(a) = q(a) \cdot 0 + r = r$。

于是 $f(a) = 0 \iff r = 0 \iff (x - a) \mid f$。∎