根的个数不超过次数

设 $K$ 代数闭、$\chi_T = \prod_{i=1}^{r}(x - \lambda_i)^{m_i}$，$\lambda_i$ 互异。

1. 把 $V$ 看成 $K[x]$-模：令 $x \cdot v := T(v)$。模的公理就是 $T$ 的线性性 + $T^{0} = I$，逐步验证即可。于是 $\chi_T \cdot V = 0$。
2. 中国剩余定理：$\chi_T = \prod_i (x - \lambda_i)^{m_i}$ 中诸因子两两互素（互异一次因子的幂），故

1. 翻译回 $V$：对每个 $i$ 令 $V_i := \ker (T - \lambda_i I)^{m_i}$。由互素性可取多项式 $u_i$ 使 $\sum_i u_i \cdot \frac{\chi_T}{(x-\lambda_i)^{m_i}} = 1$（Bézout），作用到 $v \in V$ 上给出分解 $v = \sum_i v_i$，$v_i \in V_i$。直和性由「不同因子的核之交为零」得到。
2. 维数：$V_i$ 是 $T$-不变的，且 $T|_{V_i}$ 只有一个特征值 $\lambda_i$，故 $\chi_{T|_{V_i}} = (x - \lambda_i)^{\dim V_i}$；两边取乘积并与 $\chi_T$ 比较，得 $\dim V_i = m_i$。
3. $E_{\lambda_i} \subseteq V_i$：$\ker(T - \lambda_i I) \subseteq \ker (T - \lambda_i I)^{m_i}$ 显然。∎

对 $n = \deg f$ 归纳，同时证明「可提出重数」的精确形式。

存在性：若 $f$ 在 $K$ 中没有根，取 $m = 0$、$h = f$ 即可。否则取一个根 $a_1$，由因式定理 $f = (x - a_1) f_1$，其中 $\deg f_1 = n - 1$。对 $f_1$ 归纳，得 $f_1 = (x - a_2)^{e_2} \cdots h$；再把 $a_1$ 的重数补足（若 $f_1$ 也以 $a_1$ 为根则继续除）。

次数估计：每一步除法都让次数降 1，而左边总次数是 $n$，所以 $e_1 + \cdots + e_m \le n$。特别地互异根的个数 $m \le n$。∎