不可约多项式

不可约多项式（Irreducible Polynomial）

def.irreducible-poly · 定义 · 代数 · 多项式

陈述

设 f∈K[x]f \in K[x] 是非零、非单位（即 deg⁡f≥1\deg f \ge 1）。称 ff 可约，当且仅当存在 g,h∈K[x]g, h \in K[x] 满足

f=g h,deg⁡g≥1, deg⁡h≥1f = g\,h, \qquad \deg g \ge 1, \ \deg h \ge 1

否则称 ff 不可约（irreducible）。

等价说法：ff 不可约   ⟺  \iff ff 在环 K[x]K[x] 里不能写成两个次数更小的非单位之积   ⟺  \iff 主理想 (f)(f) 是 K[x]K[x] 的极大理想。

说明

⭐ 不可约性依赖域 KK：x2+1x^{2} + 1 在 R[x]\mathbb{R}[x] 中不可约，在 C[x]\mathbb{C}[x] 中可约（=(x+i)(x−i)= (x + i)(x - i)），在 F2[x]\mathbb{F}_2[x] 中又可约（x2+1=(x+1)2x^{2} + 1 = (x+1)^{2}）。所以「不可约」永远要写明在哪个域上。

⭐ 「不可约   ⟺  \iff (f)(f) 极大」这一条把代数问题翻译成环论的语言：于是 K[x]/(f)K[x]/(f) 是域（商掉极大理想得域）—— 这就是「造一个新域、让 ff 在那里有根」的装置（Galois 那一批要用）。

⚠ 不可约与「没有根」不同：x4+1x^{4} + 1 在 R[x]\mathbb{R}[x] 上无根但可约（=(x2+2x+1)(x2−2x+1)= (x^{2}+\sqrt{2}x+1)(x^{2}-\sqrt{2}x+1)）。次数 ≤3\le 3 时两者才等价。

它指向谁（出边）

定义引用 1

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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