一元多项式

一元多项式（Polynomial）

def.polynomial · 定义 · 代数 · 多项式

陈述

设 $K$ 是域。 $K$ 上的一个一元多项式是形式表达式

f = a_0 + a_1 x + a_2 x^{2} + \cdots + a_n x^{n}, \qquad a_i \in K

（只有有限多项系数非零）； $x$ 叫未定元， $a_i$ 叫系数。

若最高次非零系数是 $a_n \ne 0$ ，称 $f$ 的次数为 $n$ ，记 $\deg f := n$ 。零多项式不规定次数，非零常数多项式的次数为 $0$ 。 $a_n$ 叫首项系数； $a_n = 1$ 时称 $f$ 是首一的。

两个多项式相等当且仅当各次系数全相等 —— 「多项式」与「多项式函数」是两件事（见注释）。

⭐ 约定：零多项式没有次数 —— 若记 $\deg 0 := -\infty$ ，则 $\deg(fg) = \deg f + \deg g$ 与 $\deg(f + g) \le \max\{\deg f, \deg g\}$ 对零多项式也说得通，这是最省事的簿记方式。

⚠ 多项式 $\ne$ 多项式函数：在 $\mathbb{F}_2$ 上， $x^{2} + x$ 与 $0$ 作为函数处处相等（ $0, 1$ 代进去都得 $0$ ），但作为多项式不同（系数不同）。本图的「多项式」一律指形式对象（系数序列）。

⭐ 去掉「有限项」这个词就得到形式幂级数 $K[[x]]$ —— 那是另一门学问（生成函数、形式群）。

⭐ 次数是这套理论的「尺子」：带余除法、根的个数、不可约性，全部按次数说话。