根子空间分解

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ Jordan 标准形推出
  根子空间分解 + 幂零块 $\implies$ Jordan 标准形
  1. 由主分解，$V = \bigoplus_i V_i$，每个 $V_i$ 是 $T$-不变的，且 $T|_{V_i} = \lambda_i I + N_i$，其中

  $$N_i := (T - \lambda_i I)|_{V_i}$$

  是幂零的（因为 $V_i = \ker (T - \lambda_i I)^{m_i}$）。只要在每个 $V_i$ 上把幂零算子化成标准形，拼起来就是 Jordan 形。

  1. 幂零算子的标准形：设 $N$ 在有限维空间 $W$ 上幂零。对 $k = 1, 2, \ldots$ 有链

  $$\{0\} \subseteq \ker N \subseteq \ker N^{2} \subseteq \cdots \subseteq \ker N^{s} = W$$

  归纳地：从最后一层 $\ker N^{s}$ 里取一组基，映到商 $\ker N^{s}/\ker N^{s-1}$ 上；在商里按同样办法取基并拉回，逐层拼出一组基，使 $N$ 在其中表现为若干「上移位」块 $N_k$（对角线为 $0$、上对角为 $1$）。

  1. 拼装：把每个 $V_i$ 里得到的基拼成 $V$ 的基。在这组基下 $T$ 的矩阵：在第 $i$ 块上是 $\lambda_i I + N_i$，即若干 Jordan 块之并，各块的特征值为 $\lambda_i$。

  $T$ 可对角化 $\iff$ 每个 $N_i = 0$ $\iff$ 每个 $V_i = E_{\lambda_i}$ $\iff$ 所有块是 $1 \times 1$。∎

  第 2 步（幂零算子的分层取基）是整条定理唯一的构造性部分；其余两半都是「把已知分解拼起来」。这也解释了为什么 Jordan 型的计算本质上只是「求若干核链」。

谁指向它（入边）

推出 1

• K[x] 是唯一分解整环、极小多项式、根的个数不超过次数 ⟹ 本页推出
  唯一分解 + 极小多项式 $\implies$ 根子空间分解

  设 $K$ 代数闭、$\chi_T = \prod_{i=1}^{r}(x - \lambda_i)^{m_i}$，$\lambda_i$ 互异。

  1. 把 $V$ 看成 $K[x]$-模：令 $x \cdot v := T(v)$。模的公理就是 $T$ 的线性性 + $T^{0} = I$，逐步验证即可。于是 $\chi_T \cdot V = 0$。
  2. 中国剩余定理：$\chi_T = \prod_i (x - \lambda_i)^{m_i}$ 中诸因子两两互素（互异一次因子的幂），故

  $$K[x]/(\chi_T) \;\cong\; \prod_i K[x]/((x - \lambda_i)^{m_i})$$

  1. 翻译回 $V$：对每个 $i$ 令 $V_i := \ker (T - \lambda_i I)^{m_i}$。由互素性可取多项式 $u_i$ 使 $\sum_i u_i \cdot \frac{\chi_T}{(x-\lambda_i)^{m_i}} = 1$（Bézout），作用到 $v \in V$ 上给出分解 $v = \sum_i v_i$，$v_i \in V_i$。直和性由「不同因子的核之交为零」得到。
  2. 维数：$V_i$ 是 $T$-不变的，且 $T|_{V_i}$ 只有一个特征值 $\lambda_i$，故 $\chi_{T|_{V_i}} = (x - \lambda_i)^{\dim V_i}$；两边取乘积并与 $\chi_T$ 比较，得 $\dim V_i = m_i$。
  3. $E_{\lambda_i} \subseteq V_i$：$\ker(T - \lambda_i I) \subseteq \ker (T - \lambda_i I)^{m_i}$ 显然。∎

  第 1 步（把 $V$ 变成 $K[x]$-模）是整条链的枢纽：一旦成为模，「按不可约因子拆」就自动由 $K[x]$ 是唯一分解整环 + Bézout 提供，不必再在向量空间里手搓。

定义引用 1

• 极小多项式 → 本页定义引用

  主分解的代数版本里，「$\chi_T$ 的因子」与「极小多项式」是同一套理想论的产物。