极小多项式整除特征多项式

记 $n = \dim V$、$\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ 为（$K$ 中）互异特征值。

(1) $\implies$ (2)：若 $T$ 在某组基下是对角阵 $\operatorname{diag}(\lambda_{i_1}, \ldots)$，则每个基向量都是特征向量，于是这组基（共 $n$ 个）落在 $\bigcup_i E_{\lambda_i}$ 中；又不同特征值的特征子空间之和是直和，故 $V = \bigoplus_i E_{\lambda_i}$。

(2) $\implies$ (3)：取维数即得 $\sum_i \dim E_{\lambda_i} = n$。

(3) $\implies$ (1)：在每个 $E_{\lambda_i}$ 里取一组基（共 $\sum_i \dim E_{\lambda_i} = n$ 个向量）。它们线性无关（直和），故是 $V$ 的基；在这组基下 $T$ 是对角阵。

(4) $\iff$ (3)：恒有 $\dim E_{\lambda} \le m_\lambda$（代数重数）与 $\sum_\lambda m_\lambda = n$。于是「和 $= n$」等价于「每个都取等号」，即几何重数 $=$ 代数重数。

(5) $\implies$ (4)：设 $\prod_i (T - \lambda_i I) = 0$ 且 $\lambda_i$ 互异，则 $\mu_T \mid \prod_i (x - \lambda_i)$，故 $\mu_T$ 无重根。“无重根”意味着极小多项式在每个特征值处的重数为 1，结合 $\mu_T$ 与 $\chi_T$ 同根、且代数重数 $\ge$ 几何重数 $\ge 1$，逐块比较即得几何重数 $=$ 代数重数。

(1) $\implies$ (5)：可对角化时 $\mu_T = \prod_i (x - \lambda_i)$（互异的一次因子之积），代入 $T$ 得零。∎

1. 整除：由 Cayley–Hamilton，$\chi_T(T) = 0$，即 $\chi_T \in I_T = (\mu_T)$，故 $\mu_T \mid \chi_T$。由此 $\deg \mu_T \le \deg \chi_T = n$。
2. $\chi_T$ 的根都是 $\mu_T$ 的根：由第 1 步与「$\mu_T$ 非零」得 $\mu_T \mid \chi_T$，故 $\chi_T$ 的每个根也是 $\mu_T$ 的根。
3. $\mu_T$ 的根都是 $\chi_T$ 的根：设 $\mu_T(\lambda) = 0$。由 $\mu_T \ne 0$ 且 $\mu_T \mid \chi_T$，把 $\mu_T$ 在 $K$ 的代数闭包中分解为 $\prod (x - \lambda_j)^{e_j}$；对每个 $j$ 取非零向量 $v_j \in \ker(T - \lambda_j I)^{e_j}$（由第 4 步非零），则 $v := v_j$ 满足 $\mu_T(T) v = 0$。若 $\lambda_j$ 不是特征值，则 $T - \lambda_j I$ 可逆，于是 $(T - \lambda_j I)^{e_j}$ 可逆，$\ker = \{0\}$，矛盾。故每个 $\lambda_j$ 都是特征值，即 $\chi_T(\lambda_j) = 0$。
4. 每个 $\ker (T - \lambda_j I)^{e_j} \ne \{0\}$：若全为零，则 $\mu_T$ 的每个因子都可逆、乘积可逆，而 $\mu_T(T) = 0$ 与可逆性矛盾（$n \ge 1$ 时 $V \ne 0$）。

于是两者的根集合相同。∎