极小多项式

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ 极小多项式整除特征多项式推出
  Cayley–Hamilton $\implies \mu_T \mid \chi_T$ 且同根
  1. 整除：由 Cayley–Hamilton，$\chi_T(T) = 0$，即 $\chi_T \in I_T = (\mu_T)$，故 $\mu_T \mid \chi_T$。由此 $\deg \mu_T \le \deg \chi_T = n$。
  2. $\chi_T$ 的根都是 $\mu_T$ 的根：由第 1 步与「$\mu_T$ 非零」得 $\mu_T \mid \chi_T$，故 $\chi_T$ 的每个根也是 $\mu_T$ 的根。
  3. $\mu_T$ 的根都是 $\chi_T$ 的根：设 $\mu_T(\lambda) = 0$。由 $\mu_T \ne 0$ 且 $\mu_T \mid \chi_T$，把 $\mu_T$ 在 $K$ 的代数闭包中分解为 $\prod (x - \lambda_j)^{e_j}$；对每个 $j$ 取非零向量 $v_j \in \ker(T - \lambda_j I)^{e_j}$（由第 4 步非零），则 $v := v_j$ 满足 $\mu_T(T) v = 0$。若 $\lambda_j$ 不是特征值，则 $T - \lambda_j I$ 可逆，于是 $(T - \lambda_j I)^{e_j}$ 可逆，$\ker = \{0\}$，矛盾。故每个 $\lambda_j$ 都是特征值，即 $\chi_T(\lambda_j) = 0$。
  4. 每个 $\ker (T - \lambda_j I)^{e_j} \ne \{0\}$：若全为零，则 $\mu_T$ 的每个因子都可逆、乘积可逆，而 $\mu_T(T) = 0$ 与可逆性矛盾（$n \ge 1$ 时 $V \ne 0$）。

  于是两者的根集合相同。∎

  第 3、4 步合起来是一个双向夹逼：既要说明 $\mu_T$ 的根一定是特征值，也要先证明那些核非零 —— 后者看起来显然，其实是「$\mu_T(T) = 0$ 而 $T$ 非平凡」的推论。

• 本页 ⟹ 根子空间分解推出
  唯一分解 + 极小多项式 $\implies$ 根子空间分解

  设 $K$ 代数闭、$\chi_T = \prod_{i=1}^{r}(x - \lambda_i)^{m_i}$，$\lambda_i$ 互异。

  1. 把 $V$ 看成 $K[x]$-模：令 $x \cdot v := T(v)$。模的公理就是 $T$ 的线性性 + $T^{0} = I$，逐步验证即可。于是 $\chi_T \cdot V = 0$。
  2. 中国剩余定理：$\chi_T = \prod_i (x - \lambda_i)^{m_i}$ 中诸因子两两互素（互异一次因子的幂），故

  $$K[x]/(\chi_T) \;\cong\; \prod_i K[x]/((x - \lambda_i)^{m_i})$$

  1. 翻译回 $V$：对每个 $i$ 令 $V_i := \ker (T - \lambda_i I)^{m_i}$。由互素性可取多项式 $u_i$ 使 $\sum_i u_i \cdot \frac{\chi_T}{(x-\lambda_i)^{m_i}} = 1$（Bézout），作用到 $v \in V$ 上给出分解 $v = \sum_i v_i$，$v_i \in V_i$。直和性由「不同因子的核之交为零」得到。
  2. 维数：$V_i$ 是 $T$-不变的，且 $T|_{V_i}$ 只有一个特征值 $\lambda_i$，故 $\chi_{T|_{V_i}} = (x - \lambda_i)^{\dim V_i}$；两边取乘积并与 $\chi_T$ 比较，得 $\dim V_i = m_i$。
  3. $E_{\lambda_i} \subseteq V_i$：$\ker(T - \lambda_i I) \subseteq \ker (T - \lambda_i I)^{m_i}$ 显然。∎

  第 1 步（把 $V$ 变成 $K[x]$-模）是整条链的枢纽：一旦成为模，「按不可约因子拆」就自动由 $K[x]$ 是唯一分解整环 + Bézout 提供，不必再在向量空间里手搓。

定义引用 1

• 根子空间分解 用到 本页定义引用

  主分解的代数版本里，「$\chi_T$ 的因子」与「极小多项式」是同一套理想论的产物。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 特征多项式 → 本页定义引用

  极小多项式的集合 $I_T$ 非空，靠的是 Cayley–Hamilton（即 $\chi_T \in I_T$）。