可对角化判据

设 $T$ 是有限维实内积空间上的自伴算子。

1. 存在实特征值：单位球面 $S := \{v : \|v\| = 1\}$ 是紧集，函数 $f(v) := \langle Tv, v\rangle$ 连续，故在某点 $v_0$ 取到最大值 $\lambda$（最值定理）。用 Lagrange 乘子（或直接对 $v_0$ 附近扰动求导）可得 $Tv_0 = \lambda v_0$：即在约束 $\|v\|^{2} = 1$ 下 $f$ 的极值点满足 $\nabla f = \lambda \nabla(\|v\|^{2})$，而两个梯度分别是 $2Tv_0$ 与 $2v_0$。于是 $\lambda$ 是特征值，且由 $\lambda = \langle Tv_0, v_0\rangle \in \mathbb{R}$ 知它是实数。
2. 特征子空间的不变性：$U := E_\lambda$ 是 $T$-不变的；由自伴性，$U^{\perp}$ 也是 $T$-不变的：若 $w \perp U$，则对 $u \in U$，$\langle u, Tw\rangle = \langle Tu, w\rangle = \langle \lambda u, w\rangle = \lambda\langle u, w\rangle = 0$，即 $Tw \perp U$。
3. 归纳：$T|_{U^{\perp}}$ 仍自伴，对 $\dim U^{\perp} < \dim V$ 用归纳假设，得 $U^{\perp} = E_{\lambda_2}\oplus\cdots$（两两正交）。于是 $V = E_{\lambda} \oplus U^{\perp}$ 是所有特征子空间的正交直和。
4. 在每个 $E_{\lambda_i}$ 里取标准正交基（Gram–Schmidt），拼起来就是 $V$ 的标准正交基，$T$ 在其中是对角阵。∎

记 $n = \dim V$、$\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ 为（$K$ 中）互异特征值。

(1) $\implies$ (2)：若 $T$ 在某组基下是对角阵 $\operatorname{diag}(\lambda_{i_1}, \ldots)$，则每个基向量都是特征向量，于是这组基（共 $n$ 个）落在 $\bigcup_i E_{\lambda_i}$ 中；又不同特征值的特征子空间之和是直和，故 $V = \bigoplus_i E_{\lambda_i}$。

(2) $\implies$ (3)：取维数即得 $\sum_i \dim E_{\lambda_i} = n$。

(3) $\implies$ (1)：在每个 $E_{\lambda_i}$ 里取一组基（共 $\sum_i \dim E_{\lambda_i} = n$ 个向量）。它们线性无关（直和），故是 $V$ 的基；在这组基下 $T$ 是对角阵。

(4) $\iff$ (3)：恒有 $\dim E_{\lambda} \le m_\lambda$（代数重数）与 $\sum_\lambda m_\lambda = n$。于是「和 $= n$」等价于「每个都取等号」，即几何重数 $=$ 代数重数。

(5) $\implies$ (4)：设 $\prod_i (T - \lambda_i I) = 0$ 且 $\lambda_i$ 互异，则 $\mu_T \mid \prod_i (x - \lambda_i)$，故 $\mu_T$ 无重根。“无重根”意味着极小多项式在每个特征值处的重数为 1，结合 $\mu_T$ 与 $\chi_T$ 同根、且代数重数 $\ge$ 几何重数 $\ge 1$，逐块比较即得几何重数 $=$ 代数重数。

(1) $\implies$ (5)：可对角化时 $\mu_T = \prod_i (x - \lambda_i)$（互异的一次因子之积），代入 $T$ 得零。∎