特征值与特征向量

特征值与特征向量（Eigenvalue & Eigenvector）

定义
依赖深度 layer 11
抽象代数
特征值与 Jordan 型

def.eigenvalue · 定义 · 线性代数 · 谱

陈述

设 $T : V \to V$ 线性， $V \ne \{0\}$ 。数 $\lambda \in K$ 叫 $T$ 的特征值，当且仅当存在非零向量 $v \in V$ 使

T(v) = \lambda\, v

这样的 $v$ 叫属于 $\lambda$ 的特征向量。属于 $\lambda$ 的特征向量加上 $0$ 构成子空间

E_{\lambda} := \ker(T - \lambda\,I) \subseteq V

叫特征子空间； $\dim E_{\lambda}$ 叫 $\lambda$ 的几何重数。

说明

⭐ 一句话：特征向量是「 $T$ 只把它拉伸、不改变方向」的那些向量，特征值是拉伸倍数。等价说法： $\lambda$ 是特征值 $\iff$ $T - \lambda I$ 不可逆 $\iff$ $\det(\lambda I - T) = 0$ 。

⭐ 特征子空间 $E_\lambda$ 是 $T$ -不变的（而且 $T$ 在它上面就是「乘 $\lambda$ 」），不同特征值的特征子空间线性无关（和是直和）。

⚠ $\lambda$ 必须在 $K$ 里：实矩阵可能没有实特征值（旋转 $90^\circ$ 的特征值是 $\pm i$ ），此时要扩到 $\mathbb{C}$ （或直接说「在 $K$ 上无特征值」）。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 可对角化判据推出

特征子空间 + 极小多项式 $\implies$ 可对角化判据

记 $n = \dim V$ 、 $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ 为（ $K$ 中）互异特征值。
(1) $\implies$ (2)：若 $T$ 在某组基下是对角阵 $\operatorname{diag}(\lambda_{i_1}, \ldots)$ ，则每个基向量都是特征向量，于是这组基（共 $n$ 个）落在 $\bigcup_i E_{\lambda_i}$ 中；又不同特征值的特征子空间之和是直和，故 $V = \bigoplus_i E_{\lambda_i}$ 。
(2) $\implies$ (3)：取维数即得 $\sum_i \dim E_{\lambda_i} = n$ 。
(3) $\implies$ (1)：在每个 $E_{\lambda_i}$ 里取一组基（共 $\sum_i \dim E_{\lambda_i} = n$ 个向量）。它们线性无关（直和），故是 $V$ 的基；在这组基下 $T$ 是对角阵。
(4) $\iff$ (3)：恒有 $\dim E_{\lambda} \le m_\lambda$ （代数重数）与 $\sum_\lambda m_\lambda = n$ 。于是「和 $= n$ 」等价于「每个都取等号」，即几何重数 $=$ 代数重数。
(5) $\implies$ (4)：设 $\prod_i (T - \lambda_i I) = 0$ 且 $\lambda_i$ 互异，则 $\mu_T \mid \prod_i (x - \lambda_i)$ ，故 $\mu_T$ 无重根。“无重根”意味着极小多项式在每个特征值处的重数为 1，结合 $\mu_T$ 与 $\chi_T$ 同根、且代数重数 $\ge$ 几何重数 $\ge 1$ ，逐块比较即得几何重数 $=$ 代数重数。
(1) $\implies$ (5)：可对角化时 $\mu_T = \prod_i (x - \lambda_i)$ （互异的一次因子之积），代入 $T$ 得零。∎

证明里真正有内容的是 (4) $\iff$ (3)（几何重数 vs 代数重数）与最后一对（(5) 是无重根判据）。前三条只是把「对角化」翻译成「有 $n$ 个无关特征向量」。

谁指向它（入边）

定义引用 1

不变子空间 → 本页定义引用

特征向量等价于「一维的不变子空间」： $T(\langle v \rangle) \subseteq \langle v \rangle$ 且 $v \ne 0$ 。

参考

Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 6

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