不变子空间

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 可对角化判据推出
  特征子空间 + 极小多项式 $\implies$ 可对角化判据

  记 $n = \dim V$、$\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ 为（$K$ 中）互异特征值。

  (1) $\implies$ (2)：若 $T$ 在某组基下是对角阵 $\operatorname{diag}(\lambda_{i_1}, \ldots)$，则每个基向量都是特征向量，于是这组基（共 $n$ 个）落在 $\bigcup_i E_{\lambda_i}$ 中；又不同特征值的特征子空间之和是直和，故 $V = \bigoplus_i E_{\lambda_i}$。

  (2) $\implies$ (3)：取维数即得 $\sum_i \dim E_{\lambda_i} = n$。

  (3) $\implies$ (1)：在每个 $E_{\lambda_i}$ 里取一组基（共 $\sum_i \dim E_{\lambda_i} = n$ 个向量）。它们线性无关（直和），故是 $V$ 的基；在这组基下 $T$ 是对角阵。

  (4) $\iff$ (3)：恒有 $\dim E_{\lambda} \le m_\lambda$（代数重数）与 $\sum_\lambda m_\lambda = n$。于是「和 $= n$」等价于「每个都取等号」，即几何重数 $=$ 代数重数。

  (5) $\implies$ (4)：设 $\prod_i (T - \lambda_i I) = 0$ 且 $\lambda_i$ 互异，则 $\mu_T \mid \prod_i (x - \lambda_i)$，故 $\mu_T$ 无重根。“无重根”意味着极小多项式在每个特征值处的重数为 1，结合 $\mu_T$ 与 $\chi_T$ 同根、且代数重数 $\ge$ 几何重数 $\ge 1$，逐块比较即得几何重数 $=$ 代数重数。

  (1) $\implies$ (5)：可对角化时 $\mu_T = \prod_i (x - \lambda_i)$（互异的一次因子之积），代入 $T$ 得零。∎

  证明里真正有内容的是 (4) $\iff$ (3)（几何重数 vs 代数重数）与最后一对（(5) 是无重根判据）。前三条只是把「对角化」翻译成「有 $n$ 个无关特征向量」。

定义引用 1

• 特征值与特征向量 用到 本页定义引用

  特征向量等价于「一维的不变子空间」：$T(\langle v \rangle) \subseteq \langle v \rangle$ 且 $v \ne 0$。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 线性映射 → 本页定义引用

  不变性说的是 $T(U) \subseteq U$，用到的只有 $T$ 是映射这一点。