线性映射

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 线性映射 ⟷ 矩阵推出
  坐标 + 线性 $\implies$ 线性映射与矩阵一一对应

  记 $\mathcal{B} = (v_1, \ldots, v_n)$、$\mathcal{C} = (w_1, \ldots, w_m)$。

  构造：给定 $T$，它在每个基向量上的值 $T(v_j) \in W$ 有唯一坐标 $(a_{1j}, \ldots, a_{mj})^{\mathsf{T}}$，排成矩阵 $[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} := (a_{ij})$。

  反过来：给定矩阵 $A = (a_{ij})$，定义 $T(v_j) := \sum_i a_{ij} w_i$，再线性地延拓到整个 $V$（每个 $v = \sum_j c_j v_j$ 令 $T(v) := \sum_j c_j T(v_j)$）。良定义：因为坐标 $c_j$ 唯一（基的定义）。

  互逆：两个构造显然互相还原，故 $T \mapsto [T]$ 是双射。

  线性：$[T + cS]$ 的第 $j$ 列 $= (T + cS)(v_j)$ 的坐标 $= T(v_j)$ 的坐标 $+ c \cdot S(v_j)$ 的坐标 $=$ 相应两列之和再加数乘。

  复合对应乘法：设 $T : V \to W$、$S : W \to U$，$S$ 在 $\mathcal{C}, \mathcal{E}$ 下的矩阵为 $B$、$T$ 在 $\mathcal{B}, \mathcal{C}$ 下的矩阵为 $A$。则

  $$(S \circ T)(v_j) = S\Bigl( \sum_i a_{ij} w_i \Bigr) = \sum_i a_{ij} S(w_i) = \sum_i a_{ij} \sum_k b_{ki} u_k = \sum_k \Bigl( \sum_i b_{ki} a_{ij} \Bigr) u_k$$

  括号里正是 $(BA)_{kj}$，故 $[S \circ T] = BA$。∎

  「良定义」那一步用到了坐标的唯一性（即基的定义）。这正是整条定理的地基 —— 若基不是基，$T$ 就定义不出来。

定义引用 5

• 线性同构 用到 本页定义引用

  同构 = 双射的线性映射；「线性」这一半来自这里，「双射」那一半来自集合论。

• 核与像 用到 本页定义引用

  核定义为 $T^{-1}(0)$、像定义为 $T(V)$，都只用 $T$ 的线性（其实用不到线性，只是线性保证它们是子空间）。

• 对偶空间 用到 本页定义引用

  对偶空间就是取 $W = K$ 的 $\operatorname{Hom}(V, K)$ —— 线性泛函就是落在一维的线性映射。

• 线性映射 ⟷ 矩阵 用到 本页定义引用

  定理的两边是 $\operatorname{Hom}_K(V, W)$ 与矩阵集合，而左边的元素就是线性映射。

• 不变子空间 用到 本页定义引用

  不变性说的是 $T(U) \subseteq U$，用到的只有 $T$ 是映射这一点。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 向量空间的基 → 本页定义引用

  线性映射的定义里出现的就是向量空间的加法与数乘 —— 换个范畴（模）就是同一句话。