零化子

零化子 $U^{0}$ （Annihilator）

def.annihilator · 定义 · 线性代数

陈述

设 $U \subseteq V$ 是子空间。 $U$ 的零化子定义为

U^{0} := \{\, \varphi \in V^{\ast} : \varphi(u) = 0 \ \text{whenever}\ u \in U \,\} \subseteq V^{\ast}

它是 $V^{\ast}$ 的子空间，并且（ $\dim V < \infty$ 时）

\dim U^{0} = \dim V - \dim U, \qquad (U^{0})^{0} = U

（第二个等号把 $U$ 看成 $V^{\ast\ast}$ 的子集，用自然同构 $V \cong V^{\ast\ast}$ 。）

⭐ 零化子是「在 $U$ 上消失的那些泛函」，于是 $\dim U^0 = \dim V - \dim U$ 与秩-零化度定理同构：把 $\pi : V \to V/U$ 拿来做对偶就得到 $U^{0} \cong (V/U)^{\ast}$ 。

⭐ $(U^{0})^{0} = U$ 说的是：子空间与零化子互为对偶（在有限维里是一条双向字典：大的 $U$ 对应小的 $U^0$ ，反序）。

⚠ 无限维时 $(U^0)^0 \supseteq U$ 可能严格更大，字典裂开。