核与像

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ 第一同构定理（向量空间版）推出
  核 / 像 / 商空间 $\implies$ 第一同构定理

  令 $\overline{T}(v + \ker T) := T(v)$。

  1. 良定义：若 $v + \ker T = v' + \ker T$，则 $v - v' \in \ker T$，即 $T(v - v') = 0$，由线性得 $T(v) = T(v')$。所以 $\overline{T}$ 只依赖陪集。
  2. 线性：$\overline{T}\bigl((v + \ker T) + c(v' + \ker T)\bigr) = \overline{T}\bigl((v + cv') + \ker T\bigr) = T(v + cv') = T(v) + cT(v')$。
  3. 单射：若 $\overline{T}(v + \ker T) = 0$，则 $T(v) = 0$，即 $v \in \ker T$，于是 $v + \ker T$ 是零陪集。故 $\ker \overline{T} = \{0\}$，$\overline{T}$ 单。
  4. 满射：$\operatorname{im} \overline{T} = \operatorname{im} T$ 由定义直接得到。

  四步齐备，$\overline{T}$ 是线性同构，$V/\ker T \cong \operatorname{im} T$。∎

  四步的顺序值得记住：先良定义、再线性、再单、再满。所有「商掉之后构造映射」的证明都是这个骨架 —— 群、环、模、拓扑空间（商拓扑）一模一样。

• 本页 ⟹ 线性方程组的解结构推出
  秩-零化度 $\implies$ 线性方程组的解结构

  记 $T : K^{n} \to K^{m}$、$x \mapsto Ax$。

  有解判据：$Ax = b$ 有解 $\iff$ $b \in \operatorname{im} T$。而 $\operatorname{im} T$ 就是 $A$ 的列空间，其维数是列秩；把 $b$ 添成一列不改变列空间的维数当且仅当 $b$ 落在其中 —— 即 $\operatorname{rank} A = \operatorname{rank}(A \mid b)$。

  解的结构：若 $x_0$ 是一个解，则对任意 $u \in \ker T$，$A(x_0 + u) = b$，所以 $x_0 + \ker T \subseteq$ 解集。反之若 $x$ 也是解，则 $A(x - x_0) = 0$，即 $x - x_0 \in \ker T$，故 $x \in x_0 + \ker T$。两边相等。

  维数：由秩-零化度定理，$\dim \ker T = n - \operatorname{rank} A$；平移不改变「维数」（仿射子空间与 $\ker T$ 同维）。

  唯一性：$\det A \ne 0$ 时 $\ker T = \{0\}$，解集是单点集 $\{A^{-1}b\}$。∎

  第 2 段是纯集合论的：解集 = 一个特解 + 全体齐次解。它对任何群同态、任何环同态都成立 —— 「非齐次解 = 特解 + 齐次解」是这一招的通用形态。

定义引用 2

• 秩 用到 本页定义引用

  秩定义为像的维数，而维数要用「维数良定义」那一条。

• 零化度 用到 本页定义引用

  零化度定义为核的维数，用的是同一个「维数」。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 线性映射 → 本页定义引用

  核定义为 $T^{-1}(0)$、像定义为 $T(V)$，都只用 $T$ 的线性（其实用不到线性，只是线性保证它们是子空间）。