商空间

令 $\overline{T}(v + \ker T) := T(v)$。

1. 良定义：若 $v + \ker T = v' + \ker T$，则 $v - v' \in \ker T$，即 $T(v - v') = 0$，由线性得 $T(v) = T(v')$。所以 $\overline{T}$ 只依赖陪集。
2. 线性：$\overline{T}\bigl((v + \ker T) + c(v' + \ker T)\bigr) = \overline{T}\bigl((v + cv') + \ker T\bigr) = T(v + cv') = T(v) + cT(v')$。
3. 单射：若 $\overline{T}(v + \ker T) = 0$，则 $T(v) = 0$，即 $v \in \ker T$，于是 $v + \ker T$ 是零陪集。故 $\ker \overline{T} = \{0\}$，$\overline{T}$ 单。
4. 满射：$\operatorname{im} \overline{T} = \operatorname{im} T$ 由定义直接得到。

四步齐备，$\overline{T}$ 是线性同构，$V/\ker T \cong \operatorname{im} T$。∎

设 $T : V \to W$ 线性且 $U \subseteq \ker T$。

存在性：令 $\overline{T}(v + U) := T(v)$。良定义：若 $v - v' \in U \subseteq \ker T$，则 $T(v - v') = 0$，即 $T(v) = T(v')$。线性同第一同构定理的证明。于是 $\overline{T} \circ \pi = T$ 由定义成立。

唯一性：设 $S : V/U \to W$ 也满足 $S \circ \pi = T$。任取 $v + U \in V/U$，则

故 $S = \overline{T}$。∎

存在性：给定双线性 $B : V \times W \to U$。先在 $V \times W$ 生成的自由向量空间（形式上取全部 $(v, w)$ 的形式线性组合）上定义 $\widehat B\bigl( \sum c_{ij}(v_i, w_j) \bigr) := \sum c_{ij} B(v_i, w_j)$，这是线性的；再由 $B$ 的双线性，$\widehat B$ 在「双线性关系」张成的子空间上取零，于是由商空间的万有性质（thm.quotient-universal-vs）它唯一地下降为 $\widetilde B : V \otimes W \to U$。

唯一性：任何满足 $\widetilde B(v \otimes w) = B(v, w)$ 的线性映射在可分解张量上取值已定；而可分解张量张成 $V \otimes W$，故线性映射被取值唯一确定。

反向：给定线性 $\widetilde B$，则 $B := \widetilde B \circ \otimes$ 是双线性的（因为 $\otimes$ 双线性）。

两个方向互逆且自然，故 $\operatorname{Hom}(V \otimes W, U) \cong \operatorname{Bil}(V, W; U)$。∎