线性同构

线性同构（Linear Isomorphism）

def.linear-isomorphism · 定义 · 线性代数

陈述

线性映射 $T : V \to W$ 叫线性同构，当且仅当 $T$ 是双射。此时记 $V \cong W$ ，并称 $V$ 与 $W$ 同构。

基本事实： $\dim_K V = n < \infty$ 时， $V \cong K^{n}$ （取一组基， $v \mapsto [v]_{\mathcal{B}}$ 就是同构）。更一般地，

V \cong W \iff \dim V = \dim W

（「 $\iff$ 」的右到左这一半在有限维时成立；无限维时仍成立，只是「维数」要按基的势来理解。）

⭐ 这条「基本事实」是整个有限维线性代数的取消论：同构类只由维数决定，所以「 $n$ 维向量空间」只有一个（在同构意义下）。于是研究所有有限维向量空间 = 研究所有 $K^{n}$ 。

⚠ 无限维时结论只在一半成立：等势的基给出同构，但同构当然也给出等势的基 —— 所以其实两个方向都对，只是「维数」要按基的势来理解（见「维数良定义」）。

⭐ 在范畴语言里： $V \mapsto \dim V$ 把 $K\text{-}\mathbf{Vect}$ 的有限维对象与基数对应起来，加法范畴的结构因此退化成线性代数的具体计算。