对偶基

对偶基（Dual Basis）

def.dual-basis · 定义 · 线性代数

陈述

设 $\mathcal{B} = (v_1, \ldots, v_n)$ 是 $V$ 的有序基。对每个 $i$ 定义 $v_i^{\ast} : V \to K$ 为

v_i^{\ast}(v_j) := \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \ne j \end{cases}

（线性地延拓到整个 $V$ 。）则 $(v_1^{\ast}, \ldots, v_n^{\ast})$ 是 $V^{\ast}$ 的一组基，叫 $\mathcal{B}$ 的对偶基。于是在有限维时 $\dim V^{\ast} = \dim V$ ：

\dim V^{\ast} = \dim V

并且对任意 $\varphi \in V^{\ast}$ 有 $\varphi = \sum_i \varphi(v_i)\, v_i^{\ast}$ 。

⭐ 对偶基是「坐标的第 $i$ 个分量」这个泛函： $v_i^{\ast}(v) = [v]_{\mathcal{B}}$ 的第 $i$ 个分量。所以坐标本身就是一个线性泛函。

⭐ 由此得到矩阵的转置： $[T^{\ast}]_{\mathcal{B}^{\ast}}^{\mathcal{C}^{\ast}} = ([T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}})^{\mathsf{T}}$ —— 对偶就是转置，这就是转置这个名字的来源。

⚠ 对偶基依赖基的选取：换一组基，对偶基也跟着换（且是反向的，见「基变换」）。