直和与补空间

直和 $V = U \oplus W$ 与补空间

def.direct-sum · 定义 · 线性代数

陈述

设 $U, W \subseteq V$ 是子空间。称 $V$ 是 $U$ 与 $W$ 的（内部）直和，记

V = U \oplus W

当且仅当

此时每个 $v \in V$ 都唯一地写成 $v = u + w$ ；映射 $(u, w) \mapsto u + w$ 是线性同构 $U \times W \cong V$ 。称 $W$ 是 $U$ 在 $V$ 中的补空间。

⭐ 直和的两条 = 「存在性」+「唯一性」，与基的定义（生成 + 无关）是同一个模式。这也解释了为什么一条都不能少： $U + W = V$ 管存在、 $U \cap W = 0$ 管唯一。

⭐ 补空间总是存在（有限维或一般情形都可以用 Zorn 引理把 $U$ 的基扩成 $V$ 的基，取新增向量张成 $W$ ），但不唯一（ $\mathbb{R}^{2}$ 里 $x$ 轴的补空间可以是任意另一条过原点的直线）。

⚠ 与「商空间」的分工： $V/U$ 是压掉 $U$ ， $U \oplus W$ 是拆开 $V$ 。有补空间时 $V/U \cong W$ （由第一同构定理），但一般情形没有这种拆法。