秩-零化度定理

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 线性方程组的解结构推出
  秩-零化度 $\implies$ 线性方程组的解结构

  记 $T : K^{n} \to K^{m}$、$x \mapsto Ax$。

  有解判据：$Ax = b$ 有解 $\iff$ $b \in \operatorname{im} T$。而 $\operatorname{im} T$ 就是 $A$ 的列空间，其维数是列秩；把 $b$ 添成一列不改变列空间的维数当且仅当 $b$ 落在其中 —— 即 $\operatorname{rank} A = \operatorname{rank}(A \mid b)$。

  解的结构：若 $x_0$ 是一个解，则对任意 $u \in \ker T$，$A(x_0 + u) = b$，所以 $x_0 + \ker T \subseteq$ 解集。反之若 $x$ 也是解，则 $A(x - x_0) = 0$，即 $x - x_0 \in \ker T$，故 $x \in x_0 + \ker T$。两边相等。

  维数：由秩-零化度定理，$\dim \ker T = n - \operatorname{rank} A$；平移不改变「维数」（仿射子空间与 $\ker T$ 同维）。

  唯一性：$\det A \ne 0$ 时 $\ker T = \{0\}$，解集是单点集 $\{A^{-1}b\}$。∎

  第 2 段是纯集合论的：解集 = 一个特解 + 全体齐次解。它对任何群同态、任何环同态都成立 —— 「非齐次解 = 特解 + 齐次解」是这一招的通用形态。

谁指向它（入边）

推出 1

• 第一同构定理（向量空间版）、维数良定义、秩、零化度 ⟹ 本页推出
  第一同构定理 + 维数 $\implies$ 秩-零化度定理

  设 $\dim V = n < \infty$。

  1. 取 $\ker T$ 的一组基 $u_1, \ldots, u_k$（$k = \operatorname{null} T$），并把它扩充成 $V$ 的一组基

  $$u_1, \ldots, u_k,\ v_1, \ldots, v_{n-k}$$

  （扩充的合法性：Steinitz 交换引理 / 「每个线性无关集都能扩充成基」）。

  1. 断言 $T(v_1), \ldots, T(v_{n-k})$ 是 $\operatorname{im} T$ 的基。

  • 生成：任取 $T(v)$，把 $v$ 按上面的基展开，落在 $\ker T$ 的那些项被 $T$ 杀掉，剩下 $T(v) = \sum_j c_j T(v_j)$。
  • 无关：若 $\sum_j c_j T(v_j) = 0$，则 $T\bigl(\sum_j c_j v_j\bigr) = 0$，即 $\sum_j c_j v_j \in \ker T$；把它用 $u_i$ 展开并与 $v_j$ 那部分的唯一性比较，得所有 $c_j = 0$。

  1. 于是 $\operatorname{rank} T = \dim \operatorname{im} T = n - k = \dim V - \operatorname{null} T$，移项即得

  $$\dim V = \operatorname{rank} T + \operatorname{null} T$$

  （另一条路：由第一同构定理 $\operatorname{im} T \cong V/\ker T$，而 $\dim(V/U) = \dim V - \dim U$ 由第 1 步的扩充直接得到 —— 两条路是同一件事的两种说法。）∎

  第 2 步的「无关」是最容易漏的一半：把无关性从 $V$ 的基搬到像上，用的是「$\ker T$ 已经作为基的一部分被单独列出」。

定义引用 1

• 秩 → 本页定义引用

  定理的两项就是秩与零化度；定理说的是它们的和等于出发空间的维数。