线性方程组的解结构

定理：线性方程组的解结构

定理
依赖深度 layer 13
抽象代数
矩阵与行列式

thm.linear-system-solutions · 定理 · 线性代数

陈述

设 $A \in M_{m \times n}(K)$ 、 $b \in K^{m}$ ，考虑方程组 $Ax = b$ 。

有解 $\iff$ $\operatorname{rank} A = \operatorname{rank}(A \mid b)$ （把 $b$ 添成第 $n+1$ 列）；
有解时，解集是仿射子空间

x_0 + \ker A = \{\, x_0 + u : u \in \ker A \,\}

其中 $x_0$ 是任一特解；于是解空间的维数是 $n - \operatorname{rank} A$ ；

齐次方程组 $Ax = 0$ 的解空间就是 $\ker A$ ，维数 $= n - \operatorname{rank} A$ ；
特别地： $m = n$ 且 $\det A \ne 0$ 时解唯一， $x = A^{-1}b$ 。

说明

⭐ 「解集 = 特解 + 齐次解」是线性代数的中心图景：非齐次没有结构，齐次才有（它是子空间），非齐次只是它的一个平移（仿射子空间）。

⭐ 维数公式 $n - \operatorname{rank} A$ 就是秩-零化度定理的方程组版本：变量数 $n$ = 约束掉的 $\operatorname{rank} A$ + 自由的 $\dim \ker A$ 。

⚠ 「有解 $\iff$ $\operatorname{rank} A = \operatorname{rank}(A \mid b)$ 」的几何意思： $b$ 落在 $A$ 的列空间里。别把它误记成「rank A = m」（那是有解且解唯一的条件）。

谁指向它（入边）

推出 1

秩-零化度定理、核与像 ⟹ 本页推出

秩-零化度 $\implies$ 线性方程组的解结构

记 $T : K^{n} \to K^{m}$ 、 $x \mapsto Ax$ 。
有解判据： $Ax = b$ 有解 $\iff$ $b \in \operatorname{im} T$ 。而 $\operatorname{im} T$ 就是 $A$ 的列空间，其维数是列秩；把 $b$ 添成一列不改变列空间的维数当且仅当 $b$ 落在其中 —— 即 $\operatorname{rank} A = \operatorname{rank}(A \mid b)$ 。
解的结构：若 $x_0$ 是一个解，则对任意 $u \in \ker T$ ， $A(x_0 + u) = b$ ，所以 $x_0 + \ker T \subseteq$ 解集。反之若 $x$ 也是解，则 $A(x - x_0) = 0$ ，即 $x - x_0 \in \ker T$ ，故 $x \in x_0 + \ker T$ 。两边相等。
维数：由秩-零化度定理， $\dim \ker T = n - \operatorname{rank} A$ ；平移不改变「维数」（仿射子空间与 $\ker T$ 同维）。
唯一性： $\det A \ne 0$ 时 $\ker T = \{0\}$ ，解集是单点集 $\{A^{-1}b\}$ 。∎

第 2 段是纯集合论的：解集 = 一个特解 + 全体齐次解。它对任何群同态、任何环同态都成立 —— 「非齐次解 = 特解 + 齐次解」是这一招的通用形态。

定义引用 1

秩 → 本页定义引用

解的存在性与解空间的维数都用 $\operatorname{rank} A$ 表述。

参考

Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 1
Lang, Linear Algebra

同一星团的其他概念 16 个

继续

在星图里打开「线性方程组的解结构」　·　全部 870 个概念　·　 Markdown 原文　·　读图指南与记号表