行列式的乘性

定理： $\det(AB) = \det A \cdot \det B$

定理
依赖深度 layer 13
抽象代数
矩阵与行列式

thm.det-multiplicative · 定理 · 线性代数 · 行列式

陈述

对 $A, B \in M_n(K)$ ：

\det(AB) = \det A \cdot \det B, \qquad \det A^{\mathsf{T}} = \det A, \qquad \det(cA) = c^{n} \det A

于是 $A$ 可逆时 $\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$ ，并且

\det A \ne 0

说明

⭐ 乘性是行列式最重要的一条：它把「矩阵乘法（复合）」翻译成「数量乘法」，于是 $\det$ 是从环 $M_n(K)$ 到域 $K$ 的乘法同态（把 $\operatorname{GL}_n(K)$ 送到 $K^{\times}$ ）。

⭐ 证明的技巧：固定 $B$ ，看 $A \mapsto \det(AB)$ —— 它关于 $A$ 的列是交错多重线性的（因为 $AB$ 的列就是 $A$ 的列的线性组合），由存在唯一性它等于常数倍的 $\det A$ ；取 $A = I$ 定出常数 $= \det B$ 。

⚠ 注意 $\det(cA) = c^{n}\det A$ （不是 $c\det A$ ）—— 每一列都乘了 $c$ ，共 $n$ 次。

谁指向它（入边）

推出 1

行列式的存在唯一性、行列式 ⟹ 本页推出

存在唯一性 $\implies$ 乘性
固定 $B$ ，考虑映射 $A \mapsto \det(AB)$ ，把它看成 $A$ 的 $n$ 个列向量 $a_1, \ldots, a_n$ 的函数。
1. 多重线性： $AB$ 的第 $j$ 列是 $A \cdot (B$ 的第 $j$ 列 $)$ ，即 $\sum_i b_{ij} a_i$ 。所以固定其他列时， $\det(AB)$ 关于第 $j$ 列是线性的（先把 $a_j$ 的线性组合拉出来，再用 $\det$ 的多重线性）。
2. 交错：若 $a_i = a_j$ （ $i \ne j$ ），则 $AB$ 的第 $i$ 、 $j$ 列也相等（同样的线性组合），于是 $\det(AB) = 0$ 。
3. 由存在唯一性， $\det(AB) = c \cdot \det A$ 对某个常数 $c$ 成立（同一条公理系下的函数只差常数倍）。取 $A = I$ 得 $c = \det B$ 。故 $\det(AB) = \det A \det B$ 。
转置： $\det A^{\mathsf{T}} = \det A$ —— 用存在唯一性， $A \mapsto \det A^{\mathsf{T}}$ 也满足三条公理（转置把列换成行，交错性与规范性不变），故两者相等。
可逆判据： $A$ 可逆时 $1 = \det I = \det(A A^{-1}) = \det A \cdot \det(A^{-1})$ ，故 $\det A \ne 0$ 。反之若 $A$ 不可逆，则其列向量线性相关， $\det A = 0$ （由交错性把线性相关性代入展开）。∎
第 3 步「只差常数倍」是唯一性定理最漂亮的一次使用：不必计算，只要说明一个新函数满足同一套公理就自动成比例。

参考

Lang, Linear Algebra

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