多重线性型

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 行列式的存在唯一性推出
  多重线性 + 交错 $\implies$ 行列式的存在唯一性

  记 $D(e_1, \ldots, e_n) = 1$ 决定了规范的零点。

  唯一性。 设 $D$ 满足三条。把每个 $v_j = \sum_i a_{ij} e_i$ 代入，由多重线性展开成 $n^{n}$ 项之和，每一项是 $a_{i_1 1} \cdots a_{i_n n} D(e_{i_1}, \ldots, e_{i_n})$。由交错性，只有 $i_1, \ldots, i_n$ 互不相同的那些项非零 —— 也就是说，只有置换 $\sigma \in S_n$ 对应的项（取 $i_j = \sigma(j)$）存活。再由交错性 $D(e_{\sigma(1)}, \ldots, e_{\sigma(n)}) = \operatorname{sgn}(\sigma)\, D(e_1, \ldots, e_n) = \operatorname{sgn}(\sigma)$。于是

  $$D(v_1, \ldots, v_n) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma)\ a_{\sigma(1), 1} \cdots a_{\sigma(n), n}$$

  右端只依赖 $a_{ij}$，故 $D$ 唯一。

  存在性。 直接把上式取作 $D$ 的定义，逐条验证三条公理：多重线性（每一项对每个 $a_{ij}$ 都是一次的，而 $a_{ij}$ 关于 $v_j$ 线性）、交错性（交换两个变元 = 把置换乘一个对换，$\operatorname{sgn}$ 变号，而所有项成对相消）、规范性（代入 $a_{ij} = \delta_{ij}$ 后只剩 $\sigma = \mathrm{id}$ 一项，值为 $1$）。∎

  唯一性先证、存在性后验：这是「用泛性质定义对象」的标准套路 —— 先把任何满足条件的对象都逼成一个显式公式，再把那个公式拿回来验证它确实满足条件。

定义引用 2

• 交错型 用到 本页定义引用

  交错性是加在多重线性型上的额外条件（交换变元要变号），所以先有多重线性。

• 双线性型 用到 本页定义引用

  双线性型就是 $n = 2$ 的多重线性型（多了一层「两个空间可以不同、值域可以不是 $K$」的推广）。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 向量空间的基 → 本页定义引用

  多重线性型是定义在 $K$-向量空间 $V$ 上的映射 $V^{n} \to K$，所以要先用向量空间。