M_n(K) 是环

定理： $M_n(K)$ 是环，对加法构成 $K$ -向量空间

定理
依赖深度 layer 11
抽象代数
矩阵与行列式

thm.matrix-ring · 定理 · 线性代数 · 环

陈述

在 $M_n(K)$ 上定义逐分量加法与矩阵乘法。则

$(M_n(K), +)$ 是阿贝尔群（零元是零矩阵）；
乘法结合、对加法双向分配、有单位元 $I_n$ （对角为 $1$ 、其余为 $0$ ）；
于是 $M_n(K)$ 是环，而且是 $K$ -代数（加法与数乘使它成为 $K$ -向量空间，乘法与之相容）。

⚠ 乘法不交换（ $n \ge 2$ 时），所以它是非交换环。

说明

⭐ 这条定理的每一句都是「把 $M_n(K)$ 当成 $\operatorname{End}(K^{n})$ 来读」的结果：矩阵的加法是映射的加法、乘法是复合、单位元是恒等映射（都在「线性映射 $\leftrightarrow$ 矩阵」那一条里证过）。

⭐ 于是 $M_n(K)$ 成为一个环，可以问它的理想、可逆元（ $\operatorname{GL}_n(K)$ ）、单侧逆等等 —— 抽象代数那一侧的工具直接搬过来用。

⚠ 「非交换」是本质的：矩阵环是最典型的非交换环，也是有限维代数的原型（Wedderburn 定理说的就是「单的有限维代数都是 $M_n(D)$ 」）。

谁指向它（入边）

推出 1

矩阵的加法与乘法、线性映射 ⟷ 矩阵 ⟹ 本页推出

矩阵运算的定义 $\implies$ $M_n(K)$ 是环
逐条验证。
1. 加法群：逐分量加法继承 $K$ 的加法群结构，零元是零矩阵， $-A$ 是逐分量取负。
2. 乘法结合： $(AB)C$ 与 $A(BC)$ 的 $(i,j)$ 元素都是 $\sum_{k,l} a_{ik} b_{kl} c_{lj}$ （两次求和次序可换，因为都是有限和）。
3. 分配律： $(A + B)C$ 与 $AC + BC$ 的 $(i,j)$ 元素都是 $\sum_k (a_{ik} + b_{ik}) c_{kj}$ 。
4. 单位元： $(I_n A)_{ij} = \sum_k \delta_{ik} a_{kj} = a_{ij}$ ，同理 $A I_n = A$ 。
5. $K$ -代数：数乘与加法的相容（向量空间公理）逐分量成立，且 $c(AB) = (cA)B = A(cB)$ 由有限和的线性性得到。
非交换（ $n \ge 2$ ）：取 $A = E_{12}$ （只有 $(1,2)$ 位是 $1$ ）、 $B = E_{21}$ ，则 $AB = E_{11}$ 而 $BA = E_{22}$ ，不等。∎
（另一条路更短：由「线性映射 $\leftrightarrow$ 矩阵」把加法读成映射的加法、乘法读成复合，于是环公理就是 $\operatorname{End}(K^{n})$ 的环公理，逐条显然。）
第 5 步「 $c(AB) = A(cB)$ 」是 $K$ -代数定义里唯一不平凡的一条 —— 它说明数乘可以从任何一个因子里提出来。

参考

Lang, Linear Algebra
Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 1

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