线性映射 ⟷ 矩阵

它指向谁（出边）

推出 3

• 本页 ⟹ M_n(K) 是环推出
  矩阵运算的定义 $\implies$ $M_n(K)$ 是环

  逐条验证。

  1. 加法群：逐分量加法继承 $K$ 的加法群结构，零元是零矩阵，$-A$ 是逐分量取负。
  2. 乘法结合：$(AB)C$ 与 $A(BC)$ 的 $(i,j)$ 元素都是 $\sum_{k,l} a_{ik} b_{kl} c_{lj}$（两次求和次序可换，因为都是有限和）。
  3. 分配律：$(A + B)C$ 与 $AC + BC$ 的 $(i,j)$ 元素都是 $\sum_k (a_{ik} + b_{ik}) c_{kj}$。
  4. 单位元：$(I_n A)_{ij} = \sum_k \delta_{ik} a_{kj} = a_{ij}$，同理 $A I_n = A$。
  5. $K$-代数：数乘与加法的相容（向量空间公理）逐分量成立，且 $c(AB) = (cA)B = A(cB)$ 由有限和的线性性得到。

  非交换（$n \ge 2$）：取 $A = E_{12}$（只有 $(1,2)$ 位是 $1$）、$B = E_{21}$，则 $AB = E_{11}$ 而 $BA = E_{22}$，不等。∎

  （另一条路更短：由「线性映射 $\leftrightarrow$ 矩阵」把加法读成映射的加法、乘法读成复合，于是环公理就是 $\operatorname{End}(K^{n})$ 的环公理，逐条显然。）

  第 5 步「$c(AB) = A(cB)$」是 $K$-代数定义里唯一不平凡的一条 —— 它说明数乘可以从任何一个因子里提出来。

• 本页 ⟹ 基变换与相似推出
  矩阵表示 + 乘法对应复合 $\implies$ 相似

  记 $P := [\mathrm{id}]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$。由矩阵表示对复合的乘性，

  $$[T]_{\mathcal{B}'} = [\mathrm{id} \circ T \circ \mathrm{id}]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}'} = [\mathrm{id}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\ [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}\ [\mathrm{id}]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} = P^{-1}\,[T]_{\mathcal{B}}\,P$$

  其中 $[\mathrm{id}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = P^{-1}$ 是因为两个过渡矩阵互为逆（$(P^{-1}P)$ 是恒等映射在两同一组基下的矩阵，即 $I_n$）。

  由「可逆 $\iff$ 双射」一栏的等价，$P$ 可逆。

  相似是等价关系：自反（$P = I$）、对称（$A \sim B \implies B = P^{-1}AP \implies A = (P^{-1})^{-1} B P^{-1}$）、传递（$P^{-1}AP = B$、$Q^{-1}BQ = C \implies (PQ)^{-1}A(PQ) = C$）。∎

  整条证明里没有做任何计算，只是把「换基」写成三个映射的复合再用矩阵表示的乘性 —— 这是把矩阵论建立在线性映射语言上的最大红利。

• 本页 ⟹ 行秩 = 列秩推出
  矩阵表示 $\implies$ 行秩 = 列秩

  把 $A$ 看成映射 $T : K^{n} \to K^{m}$、$x \mapsto Ax$（取标准基）。

  1. 列秩：$A$ 的列向量正是 $T(e_1), \ldots, T(e_n)$，所以列秩 $= \dim \operatorname{im} T = \operatorname{rank} A$。
  2. 行秩：$A$ 的转置 $A^{\mathsf{T}}$ 对应的映射 $T^{\mathsf{T}} : K^{m} \to K^{n}$ 就是 $T$ 的对偶（取标准基，见「对偶基」里的 $[T^{\ast}] = [T]^{\mathsf{T}}$）。$A$ 的行向量是 $A^{\mathsf{T}}$ 的列向量，故行秩 $= \operatorname{rank} A^{\mathsf{T}}$。
  3. 只需再证 $\operatorname{rank} A^{\mathsf{T}} = \operatorname{rank} A$：由 $\operatorname{im} T^{\mathsf{T}} = (\ker T)^{0}$（零化子）与 $\dim U^{0} = \dim V - \dim U$，

  $$\operatorname{rank} A^{\mathsf{T}} = \dim \operatorname{im} T^{\mathsf{T}} = \dim (\ker T)^{0} = n - \dim \ker T = \dim \operatorname{im} T = \operatorname{rank} A$$

  （最后一步用了秩-零化度定理。）∎

  这条证明把「行秩 = 列秩」化归成对偶那一段的零化子维数公式 —— 也就是说：转置不改变秩，而那是零化子与秩-零化度的共同推论。

谁指向它（入边）

推出 1

• 坐标、线性映射、矩阵 ⟹ 本页推出
  坐标 + 线性 $\implies$ 线性映射与矩阵一一对应

  记 $\mathcal{B} = (v_1, \ldots, v_n)$、$\mathcal{C} = (w_1, \ldots, w_m)$。

  构造：给定 $T$，它在每个基向量上的值 $T(v_j) \in W$ 有唯一坐标 $(a_{1j}, \ldots, a_{mj})^{\mathsf{T}}$，排成矩阵 $[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} := (a_{ij})$。

  反过来：给定矩阵 $A = (a_{ij})$，定义 $T(v_j) := \sum_i a_{ij} w_i$，再线性地延拓到整个 $V$（每个 $v = \sum_j c_j v_j$ 令 $T(v) := \sum_j c_j T(v_j)$）。良定义：因为坐标 $c_j$ 唯一（基的定义）。

  互逆：两个构造显然互相还原，故 $T \mapsto [T]$ 是双射。

  线性：$[T + cS]$ 的第 $j$ 列 $= (T + cS)(v_j)$ 的坐标 $= T(v_j)$ 的坐标 $+ c \cdot S(v_j)$ 的坐标 $=$ 相应两列之和再加数乘。

  复合对应乘法：设 $T : V \to W$、$S : W \to U$，$S$ 在 $\mathcal{C}, \mathcal{E}$ 下的矩阵为 $B$、$T$ 在 $\mathcal{B}, \mathcal{C}$ 下的矩阵为 $A$。则

  $$(S \circ T)(v_j) = S\Bigl( \sum_i a_{ij} w_i \Bigr) = \sum_i a_{ij} S(w_i) = \sum_i a_{ij} \sum_k b_{ki} u_k = \sum_k \Bigl( \sum_i b_{ki} a_{ij} \Bigr) u_k$$

  括号里正是 $(BA)_{kj}$，故 $[S \circ T] = BA$。∎

  「良定义」那一步用到了坐标的唯一性（即基的定义）。这正是整条定理的地基 —— 若基不是基，$T$ 就定义不出来。

定义引用 1

• 线性映射 → 本页定义引用

  定理的两边是 $\operatorname{Hom}_K(V, W)$ 与矩阵集合，而左边的元素就是线性映射。