初等变换与初等矩阵

初等变换与初等矩阵（Elementary Matrices）

def.elementary-matrix · 定义 · 线性代数

陈述

初等行变换指下列三种操作：

对单位矩阵 $I_n$ 做一次上述操作得到的矩阵叫初等矩阵（记 $E$ ）。关键性质是：对 $A$ 做一次初等行变换，等于在左边乘上相应的初等矩阵，即把 $A$ 换成 $EA$ 。

每个初等矩阵都可逆，且逆仍是初等矩阵（同类型的）：互换的逆是自己、乘 $c$ 的逆是乘 $c^{-1}$ 、加 $c$ 倍的逆是加 $-c$ 倍。

⭐ 「左乘 = 行变换」这条对应关系把操作变成了对象：于是「用消元法解方程组」就是「在左边乘一串初等矩阵」，可以写成等式 $E_k \cdots E_1 A = R$ （ $R$ 是行简化阶梯形）。

⭐ 最重要的一条推论： $A$ 可逆当且仅当它是有限多个初等矩阵之积（消元法把 $A$ 化成 $I_n$ ，把这一串操作记录下来就是 $A^{-1}$ 的显式分解）。这也是「算逆矩阵」那套 $[A \mid I] \to [I \mid A^{-1}]$ 手法的道理。

⚠ 初等列变换对应的是右乘。行列混着做就成了等价变换（ $A \mapsto PAQ$ ），它保持秩但不保持相似。