矩阵的加法与乘法

矩阵的加法、数乘与乘法

定义
依赖深度 layer 10
抽象代数
矩阵与行列式

def.matrix-operations · 定义 · 线性代数

陈述

设 $A = (a_{ij})$ 、 $B = (b_{ij})$ 同型（都是 $m \times n$ ）。

加法与数乘（逐分量）：

(A + B)_{ij} := a_{ij} + b_{ij}, \qquad (cA)_{ij} := c\,a_{ij}

乘法：设 $A \in M_{m \times n}(K)$ 、 $B \in M_{n \times p}(K)$ ，则 $AB \in M_{m \times p}(K)$ 定义为

(AB)_{ij} := \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

（ $A$ 的列数必须等于 $B$ 的行数，否则不定义。）

说明

⭐ 乘法为什么长这样：把 $B$ 的每一列看成 $K^{n}$ 中的向量，则 $AB$ 的第 $j$ 列 $= A \cdot (B$ 的第 $j$ 列 $)$ —— 矩阵乘法就是线性映射的复合（见「线性映射 $\leftrightarrow$ 矩阵」）。不是「行列逐条相乘」的偶然配方。

⚠ 乘法不交换： $AB \ne BA$ （连形状都可能不合）。例 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 、 $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 给 $AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ne BA$ 。

⚠ $AB = 0$ 不必有 $A = 0$ 或 $B = 0$ —— 这就是「 $M_n(K)$ 是环但不是整环」的意思，也解释了行列式为什么必要（det 把这件事管住了）。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ M_n(K) 是环推出

矩阵运算的定义 $\implies$ $M_n(K)$ 是环
逐条验证。
1. 加法群：逐分量加法继承 $K$ 的加法群结构，零元是零矩阵， $-A$ 是逐分量取负。
2. 乘法结合： $(AB)C$ 与 $A(BC)$ 的 $(i,j)$ 元素都是 $\sum_{k,l} a_{ik} b_{kl} c_{lj}$ （两次求和次序可换，因为都是有限和）。
3. 分配律： $(A + B)C$ 与 $AC + BC$ 的 $(i,j)$ 元素都是 $\sum_k (a_{ik} + b_{ik}) c_{kj}$ 。
4. 单位元： $(I_n A)_{ij} = \sum_k \delta_{ik} a_{kj} = a_{ij}$ ，同理 $A I_n = A$ 。
5. $K$ -代数：数乘与加法的相容（向量空间公理）逐分量成立，且 $c(AB) = (cA)B = A(cB)$ 由有限和的线性性得到。
非交换（ $n \ge 2$ ）：取 $A = E_{12}$ （只有 $(1,2)$ 位是 $1$ ）、 $B = E_{21}$ ，则 $AB = E_{11}$ 而 $BA = E_{22}$ ，不等。∎
（另一条路更短：由「线性映射 $\leftrightarrow$ 矩阵」把加法读成映射的加法、乘法读成复合，于是环公理就是 $\operatorname{End}(K^{n})$ 的环公理，逐条显然。）
第 5 步「 $c(AB) = A(cB)$ 」是 $K$ -代数定义里唯一不平凡的一条 —— 它说明数乘可以从任何一个因子里提出来。

定义引用 1

可逆矩阵用到本页定义引用

「可逆」这个词要用乘法来陈述（ $AB = BA = I_n$ ），所以先要有乘法。

谁指向它（入边）

定义引用 1

矩阵 → 本页定义引用

加、数乘、乘法都是写在矩阵元素上的逐条公式，先要有矩阵这个对象。

参考

Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 1

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