Cramer 法则

谁指向它（入边）

推出 1

• 行列式、Laplace 展开、可逆矩阵 ⟹ 本页推出
  伴随矩阵 + 行列式 $\implies$ Cramer 法则

  由 Laplace 展开与错位展开，定义伴随矩阵 $\operatorname{adj} A := (C_{ji})$（代数余子式的转置），则两条展开合起来就是

  $$A \cdot \operatorname{adj} A = (\det A)\, I_n = \operatorname{adj} A \cdot A$$

  （$(i,j)$ 元素是 $\sum_k a_{ik} C_{jk}$：$i = j$ 时按第 $i$ 行展开 $= \det A$，$i \ne j$ 时错位展开 $= 0$。）

  若 $\det A \ne 0$，则 $A^{-1} = (\det A)^{-1} \operatorname{adj} A$，于是 $x = A^{-1} b$ 的唯一解可以写成

  $$x_j = \frac{1}{\det A} \sum_i C_{ij} b_i$$

  而 $\sum_i C_{ij} b_i$ 恰好是「把 $A$ 的第 $j$ 列换成 $b$」之后按第 $j$ 列做 Laplace 展开的结果，即 $\det A_j$。故 $x_j = \det A_j / \det A$。∎

  证明的组织方式值得记住：Laplace 展开 + 错位展开 = 伴随矩阵，于是 Cramer 法则不过是「$A^{-1} = \operatorname{adj}A / \det A$」写在分量上。