可逆矩阵

可逆矩阵与 $\operatorname{GL}_n(K)$

定义
依赖深度 layer 11
抽象代数
矩阵与行列式

def.invertible-matrix · 定义 · 线性代数

陈述

方阵 $A \in M_n(K)$ 叫可逆，当且仅当存在 $B \in M_n(K)$ 使

AB = BA = I_n

此时 $B$ 唯一，记 $A^{-1}$ 。全体可逆 $n$ 阶矩阵在乘法下构成群，记

\operatorname{GL}_n(K) := \{\, A \in M_n(K) : A \text{ is invertible} \,\}

叫一般线性群。

说明

⭐ 一条把三个团串起来的等价表：对 $A \in M_n(K)$ ，下列命题等价 ——

$A$ 可逆；
线性映射 $x \mapsto Ax$ 是双射（即同构）；
$\operatorname{rank} A = n$ （满秩）；
$\ker A = \{0\}$ （零化度为 $0$ ）；
$A$ 的列向量线性无关（从而是一组基）；
$\det A \ne 0$ ；
$A$ 可以写成有限多个初等矩阵之积。

⚠ 有限维特有：只有 $\dim V < \infty$ 时「单 $\iff$ 满 $\iff$ 可逆」才成立（无限维的单射移位算子可逆吗？不）。

⭐ $\operatorname{GL}_n(K)$ 是矩阵环 $M_n(K)$ 的单位群，也是代数群的原型（它是 $K^{n^{2}}$ 里的一个由多项式方程 $\det A \cdot \det A^{-1} = 1$ 切出来的对象）—— 这一条与代数几何、李群都接得上。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Cramer 法则推出

伴随矩阵 + 行列式 $\implies$ Cramer 法则

由 Laplace 展开与错位展开，定义伴随矩阵 $\operatorname{adj} A := (C_{ji})$ （代数余子式的转置），则两条展开合起来就是
$A \cdot \operatorname{adj} A = (\det A)\, I_n = \operatorname{adj} A \cdot A$
（ $(i,j)$ 元素是 $\sum_k a_{ik} C_{jk}$ ： $i = j$ 时按第 $i$ 行展开 $= \det A$ ， $i \ne j$ 时错位展开 $= 0$ 。）
若 $\det A \ne 0$ ，则 $A^{-1} = (\det A)^{-1} \operatorname{adj} A$ ，于是 $x = A^{-1} b$ 的唯一解可以写成
$x_j = \frac{1}{\det A} \sum_i C_{ij} b_i$
而 $\sum_i C_{ij} b_i$ 恰好是「把 $A$ 的第 $j$ 列换成 $b$ 」之后按第 $j$ 列做 Laplace 展开的结果，即 $\det A_j$ 。故 $x_j = \det A_j / \det A$ 。∎

证明的组织方式值得记住：Laplace 展开 + 错位展开 = 伴随矩阵，于是 Cramer 法则不过是「 $A^{-1} = \operatorname{adj}A / \det A$ 」写在分量上。

谁指向它（入边）

定义引用 1

矩阵的加法与乘法 → 本页定义引用

「可逆」这个词要用乘法来陈述（ $AB = BA = I_n$ ），所以先要有乘法。

参考

Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 1

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