基变换与相似

定理：换基给出相似矩阵

定理
依赖深度 layer 11
抽象代数
矩阵与行列式

thm.change-of-basis · 定理 · 线性代数

陈述

设 $T : V \to V$ 线性， $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ 是 $V$ 的两组有序基。记 $P := [\mathrm{id}]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$ （过渡矩阵，第 $j$ 列是 $\mathcal{B}'$ 的第 $j$ 个向量在 $\mathcal{B}$ 下的坐标）。则 $P$ 可逆，且

[T]_{\mathcal{B}'} = P^{-1}\,[T]_{\mathcal{B}}\,P

此时称两个矩阵相似（记 $A \sim B$ ）。相似是一个等价关系。

说明

⭐ 一句话：换基就是共轭。 $P^{-1}AP$ 里的 $P$ 管「坐标怎么换」，而两侧一进一出正好把基的选取抹掉 —— 所以「相似」是矩阵的内在性质（属于那个线性映射），而不是基质自身的性质。

⭐ 值得记住的分工： $A$ 与 $B$ 相似 $\iff$ 它们是同一个线性映射在两组基下的矩阵； $A$ 与 $B$ 等价（只要求 $B = PAQ$ ， $P, Q$ 可逆） $\iff$ 它们秩相等（连空间都可以换）。

⚠ 相似比等价严得多：相似的矩阵秩相同、迹相同、行列式相同、特征多项式相同 —— 这些都是相似不变量（后面特征值那一团要用）。

它指向谁（出边）

定义引用 1

相似用到本页定义引用

相似的定义 $B = P^{-1}AP$ 就是「换基公式」写成矩阵的样子。

谁指向它（入边）

推出 1

线性映射 ⟷ 矩阵 ⟹ 本页推出

矩阵表示 + 乘法对应复合 $\implies$ 相似

记 $P := [\mathrm{id}]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$ 。由矩阵表示对复合的乘性，
$[T]_{\mathcal{B}'} = [\mathrm{id} \circ T \circ \mathrm{id}]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}'} = [\mathrm{id}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}\ [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}\ [\mathrm{id}]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}} = P^{-1}\,[T]_{\mathcal{B}}\,P$
其中 $[\mathrm{id}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = P^{-1}$ 是因为两个过渡矩阵互为逆（ $(P^{-1}P)$ 是恒等映射在两同一组基下的矩阵，即 $I_n$ ）。
由「可逆 $\iff$ 双射」一栏的等价， $P$ 可逆。
相似是等价关系：自反（ $P = I$ ）、对称（ $A \sim B \implies B = P^{-1}AP \implies A = (P^{-1})^{-1} B P^{-1}$ ）、传递（ $P^{-1}AP = B$ 、 $Q^{-1}BQ = C \implies (PQ)^{-1}A(PQ) = C$ ）。∎

整条证明里没有做任何计算，只是把「换基」写成三个映射的复合再用矩阵表示的乘性 —— 这是把矩阵论建立在线性映射语言上的最大红利。

参考

Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 4

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