行列式

它指向谁（出边）

推出 3

• 本页 ⟹ 行列式的乘性推出
  存在唯一性 $\implies$ 乘性

  固定 $B$，考虑映射 $A \mapsto \det(AB)$，把它看成 $A$ 的 $n$ 个列向量 $a_1, \ldots, a_n$ 的函数。

  1. 多重线性：$AB$ 的第 $j$ 列是 $A \cdot (B$ 的第 $j$ 列$)$，即 $\sum_i b_{ij} a_i$。所以固定其他列时，$\det(AB)$ 关于第 $j$ 列是线性的（先把 $a_j$ 的线性组合拉出来，再用 $\det$ 的多重线性）。
  2. 交错：若 $a_i = a_j$（$i \ne j$），则 $AB$ 的第 $i$、$j$ 列也相等（同样的线性组合），于是 $\det(AB) = 0$。
  3. 由存在唯一性，$\det(AB) = c \cdot \det A$ 对某个常数 $c$ 成立（同一条公理系下的函数只差常数倍）。取 $A = I$ 得 $c = \det B$。故 $\det(AB) = \det A \det B$。

  转置：$\det A^{\mathsf{T}} = \det A$ —— 用存在唯一性，$A \mapsto \det A^{\mathsf{T}}$ 也满足三条公理（转置把列换成行，交错性与规范性不变），故两者相等。

  可逆判据：$A$ 可逆时 $1 = \det I = \det(A A^{-1}) = \det A \cdot \det(A^{-1})$，故 $\det A \ne 0$。反之若 $A$ 不可逆，则其列向量线性相关，$\det A = 0$（由交错性把线性相关性代入展开）。∎

  第 3 步「只差常数倍」是唯一性定理最漂亮的一次使用：不必计算，只要说明一个新函数满足同一套公理就自动成比例。

• 本页 ⟹ Laplace 展开推出
  置换展开 $\implies$ Laplace 展开

  把 $\det A$ 按第 $i$ 行拆开：$A$ 的每一列 $a_j$ 都含 $a_{ij} e_i$ 这一项，由多重线性可把 $\det$ 展成 $n$ 项之和，第 $j$ 项是「把第 $j$ 列换成 $a_{ij} e_i$、其余列不动」的行列式。

  该行列式 $= a_{ij} \cdot \det(\ldots, e_i, \ldots)$，其中 $e_i$ 在第 $j$ 位。把 $e_i$ 通过 $|i - j|$ 次相邻列交换移到第 $1$ 位（每次变号），再按第一列展开，剩下的 $(n-1)$ 阶行列式正是划掉第 $i$ 行、第 $j$ 列后的 $A_{ij}$，符号累计为 $(-1)^{i+j}$。于是

  $$\det A = \sum_j a_{ij}\,(-1)^{i+j} \det A_{ij} = \sum_j a_{ij}\, C_{ij}$$

  错位展开：若 $k \ne i$ 而用第 $k$ 行的元素配第 $i$ 行的代数余子式，那等于「把第 $i$ 行换成第 $k$ 行」之后的行列式 —— 有两行相同，故为 $0$。∎

  符号 $(-1)^{i+j}$ 的来源是移动 $e_i$ 到第一个位置所需的交换次数 —— 这也是「棋盘格符号」的几何解释。

• 本页 ⟹ Cramer 法则推出
  伴随矩阵 + 行列式 $\implies$ Cramer 法则

  由 Laplace 展开与错位展开，定义伴随矩阵 $\operatorname{adj} A := (C_{ji})$（代数余子式的转置），则两条展开合起来就是

  $$A \cdot \operatorname{adj} A = (\det A)\, I_n = \operatorname{adj} A \cdot A$$

  （$(i,j)$ 元素是 $\sum_k a_{ik} C_{jk}$：$i = j$ 时按第 $i$ 行展开 $= \det A$，$i \ne j$ 时错位展开 $= 0$。）

  若 $\det A \ne 0$，则 $A^{-1} = (\det A)^{-1} \operatorname{adj} A$，于是 $x = A^{-1} b$ 的唯一解可以写成

  $$x_j = \frac{1}{\det A} \sum_i C_{ij} b_i$$

  而 $\sum_i C_{ij} b_i$ 恰好是「把 $A$ 的第 $j$ 列换成 $b$」之后按第 $j$ 列做 Laplace 展开的结果，即 $\det A_j$。故 $x_j = \det A_j / \det A$。∎

  证明的组织方式值得记住：Laplace 展开 + 错位展开 = 伴随矩阵，于是 Cramer 法则不过是「$A^{-1} = \operatorname{adj}A / \det A$」写在分量上。

定义引用 1

• 特征多项式 用到 本页定义引用

  特征多项式就是 $\det(xI - A)$ —— 行列式在这里第一次被用到「变量是矩阵」的场合。

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 交错型 → 本页定义引用

  行列式就是交错 $n$ 重线性型在 $V = K^{n}$ 上的那一支（用置换的符号写出显式公式）。

• 行列式的存在唯一性 → 本页定义引用

  存在唯一性定理保证了「那个唯一的 $D$」确实存在，行列式的定义才站得住。