行秩 = 列秩

定理：行秩等于列秩，都等于矩阵的秩

定理
依赖深度 layer 12
抽象代数
矩阵与行列式

thm.rank-row-col · 定理 · 线性代数 · 秩

陈述

设 $A \in M_{m \times n}(K)$ 。把 $A$ 的 $m$ 个行向量看成 $K^{n}$ 中的向量，其张成的子空间的维数叫行秩；同理定义列秩（ $A$ 的 $n$ 个列向量在 $K^{m}$ 中张成的维数）。则

行秩 $=$ 列秩 $= \operatorname{rank} A$ ，即

\operatorname{rank}_{\text{row}} A = \operatorname{rank}_{\text{col}} A = \operatorname{rank} A

其中 $\operatorname{rank} A$ 是线性映射 $x \mapsto Ax$ 的秩（见「秩」）。

说明

⭐ 「行秩 = 列秩」不是显然的：它说的是 $K^{n}$ 里那 $m$ 个行向量与 $K^{m}$ 里那 $n$ 个列向量恰好一样独立，而这恰是「矩阵的秩」这个数只有一个的根源。

⭐ 证明走初等变换：左乘可逆矩阵不改变行空间（只换基），于是可以先把 $A$ 化成行简化阶梯形，其中非零行的个数就是秩 —— 而列秩也被同一批主元决定了。

⚠ 它是「用消元法算秩」的合法性依据：把一列列的运算搬来搬去，那个数不会变。

谁指向它（入边）

推出 1

线性映射 ⟷ 矩阵、秩 ⟹ 本页推出

矩阵表示 $\implies$ 行秩 = 列秩
把 $A$ 看成映射 $T : K^{n} \to K^{m}$ 、 $x \mapsto Ax$ （取标准基）。
1. 列秩： $A$ 的列向量正是 $T(e_1), \ldots, T(e_n)$ ，所以列秩 $= \dim \operatorname{im} T = \operatorname{rank} A$ 。
2. 行秩： $A$ 的转置 $A^{\mathsf{T}}$ 对应的映射 $T^{\mathsf{T}} : K^{m} \to K^{n}$ 就是 $T$ 的对偶（取标准基，见「对偶基」里的 $[T^{\ast}] = [T]^{\mathsf{T}}$ ）。 $A$ 的行向量是 $A^{\mathsf{T}}$ 的列向量，故行秩 $= \operatorname{rank} A^{\mathsf{T}}$ 。
3. 只需再证 $\operatorname{rank} A^{\mathsf{T}} = \operatorname{rank} A$ ：由 $\operatorname{im} T^{\mathsf{T}} = (\ker T)^{0}$ （零化子）与 $\dim U^{0} = \dim V - \dim U$ ，
$\operatorname{rank} A^{\mathsf{T}} = \dim \operatorname{im} T^{\mathsf{T}} = \dim (\ker T)^{0} = n - \dim \ker T = \dim \operatorname{im} T = \operatorname{rank} A$
（最后一步用了秩-零化度定理。）∎
这条证明把「行秩 = 列秩」化归成对偶那一段的零化子维数公式 —— 也就是说：转置不改变秩，而那是零化子与秩-零化度的共同推论。

定义引用 1

秩 → 本页定义引用

定理说的是行秩与列秩都等于 $\operatorname{rank} A$ —— 后者的定义在映射那一侧。

参考

Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 4

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