坐标

坐标与有序基（Coordinates）

定义
依赖深度 layer 9
抽象代数
向量空间的基

def.coordinate · 定义 · 线性代数

陈述

设 $\mathcal{B} = (v_1, \ldots, v_n)$ 是 $V$ 的有序基（顺序算进去）。由「基」的定义，每个 $v \in V$ 都能唯一地写成

v = c_1 v_1 + \cdots + c_n v_n, \qquad c_i \in K

把系数排成列

[v]_{\mathcal{B}} := \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} \in K^{n}

叫 $v$ 在基 $\mathcal{B}$ 下的坐标。于是

v \mapsto [v]_{\mathcal{B}}

是 $V \to K^{n}$ 的双射，而且是线性的（保持加法与数乘）。

说明

⭐ 这一条把「抽象的向量空间」翻译成「 $K^{n}$ 里的列向量」—— 这是矩阵论的全部合法性来源：以后再谈矩阵，说的都是这件事在两侧不同基下的样子。

⚠ 「唯一」来自基的定义（既有线性无关又有生成）；只要缺一条，坐标就不再唯一（无关性不够则重复，生成性不够则写不出来）。

⚠ 「有序」不可省：把 $(v_1, v_2)$ 换成 $(v_2, v_1)$ ，坐标的两个分量就交换了 —— 这正是矩阵换基公式里那些排列的来源。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 线性映射 ⟷ 矩阵推出

坐标 + 线性 $\implies$ 线性映射与矩阵一一对应

记 $\mathcal{B} = (v_1, \ldots, v_n)$ 、 $\mathcal{C} = (w_1, \ldots, w_m)$ 。
构造：给定 $T$ ，它在每个基向量上的值 $T(v_j) \in W$ 有唯一坐标 $(a_{1j}, \ldots, a_{mj})^{\mathsf{T}}$ ，排成矩阵 $[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} := (a_{ij})$ 。
反过来：给定矩阵 $A = (a_{ij})$ ，定义 $T(v_j) := \sum_i a_{ij} w_i$ ，再线性地延拓到整个 $V$ （每个 $v = \sum_j c_j v_j$ 令 $T(v) := \sum_j c_j T(v_j)$ ）。良定义：因为坐标 $c_j$ 唯一（基的定义）。
互逆：两个构造显然互相还原，故 $T \mapsto [T]$ 是双射。
线性： $[T + cS]$ 的第 $j$ 列 $= (T + cS)(v_j)$ 的坐标 $= T(v_j)$ 的坐标 $+ c \cdot S(v_j)$ 的坐标 $=$ 相应两列之和再加数乘。
复合对应乘法：设 $T : V \to W$ 、 $S : W \to U$ ， $S$ 在 $\mathcal{C}, \mathcal{E}$ 下的矩阵为 $B$ 、 $T$ 在 $\mathcal{B}, \mathcal{C}$ 下的矩阵为 $A$ 。则
$(S \circ T)(v_j) = S\Bigl( \sum_i a_{ij} w_i \Bigr) = \sum_i a_{ij} S(w_i) = \sum_i a_{ij} \sum_k b_{ki} u_k = \sum_k \Bigl( \sum_i b_{ki} a_{ij} \Bigr) u_k$
括号里正是 $(BA)_{kj}$ ，故 $[S \circ T] = BA$ 。∎

「良定义」那一步用到了坐标的唯一性（即基的定义）。这正是整条定理的地基 —— 若基不是基， $T$ 就定义不出来。

谁指向它（入边）

定义引用 1

向量空间的基 → 本页定义引用

坐标的合法性来自「基」的定义（线性无关 + 生成 = 表示唯一），而那个定义就写在 def.vs 里。

参考

Lang, Linear Algebra
Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 3

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