子空间

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 子空间判据推出
  子空间的定义 $\implies$ 两条判据与生成

  合并版。

  ($\implies$) 设 $U$ 是子空间。$u, v \in U$、$c \in K$ 时 $cu \in U$（数乘封闭）且 $cu + v \in U$（加法封闭）。

  ($\Longleftarrow$) 设对一切 $u, v, c$ 有 $cu + v \in U$。取 $u = v$、$c = -1$ 得 $0 \in U$；取 $c = 1$ 得加法封闭；取 $v = 0$、$c$ 任意得数乘封闭（这里用到了 $0 \in U$，而它刚证过）。三条齐备，$U$ 是子空间。

  阶梯版。 设 $U_1 \subseteq U_2 \subseteq \cdots$，令 $U := \bigcup_n U_n$。非空。取 $u, v \in U$、$c \in K$：存在 $i, j$ 使 $u \in U_i$、$v \in U_j$。由链的递增性，取 $N := \max\{i, j\}$ 就有 $u, v \in U_N$；由 $U_N$ 是子空间，$cu + v \in U_N \subseteq U$。由合并版，$U$ 是子空间。

  生成版。 令 $\mathcal{U} := \{U \subseteq V : U \supseteq S,\ U$ 是子空间$\}$，$U_0 := \bigcap \mathcal{U}$。

  1. $\mathcal{U} \ne \emptyset$（$V \in \mathcal{U}$），且任意多个子空间之交仍是子空间（三条逐条验证），故 $U_0$ 是子空间且 $U_0 \supseteq S$。
  2. 若 $U \supseteq S$ 是子空间，则 $U \in \mathcal{U}$，故 $U_0 \subseteq U$ —— 所以 $U_0$ 是最小的。
  3. $U_0$ 含 $S$ 中元素的有限线性组合：对每个这样的组合闭包验证一遍（对组合的长度归纳），可知全体有限线性组合构成一个含 $S$ 的子空间 $W$；由最小性 $U_0 \subseteq W$；又每个 $U \in \mathcal{U}$ 都含 $W$（子空间对有限组合封闭），故 $W \subseteq U_0$。两者相等。∎

  第 3 步是「生成 = 有限组合全体」这句话的全部内容：「最小」与「有限组合」是同一件事，一个从上面（取交）说、一个从下面（构造）说。

定义引用 2

• 子空间判据 用到 本页定义引用

  判据是把子空间定义里的三条压缩成一条运算 $cu + v$；生成版则直接引用「子空间」。

• 直和与补空间 用到 本页定义引用

  直和的两个条件（和等于 $V$、交为零）都是子空间层面的陈述。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 向量空间的基 → 本页定义引用

  子空间的定义只用到向量空间的三条运算公理（加法、数乘、零元），不涉及基。