维数良定义

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 秩-零化度定理推出
  第一同构定理 + 维数 $\implies$ 秩-零化度定理

  设 $\dim V = n < \infty$。

  1. 取 $\ker T$ 的一组基 $u_1, \ldots, u_k$（$k = \operatorname{null} T$），并把它扩充成 $V$ 的一组基

  $$u_1, \ldots, u_k,\ v_1, \ldots, v_{n-k}$$

  （扩充的合法性：Steinitz 交换引理 / 「每个线性无关集都能扩充成基」）。

  1. 断言 $T(v_1), \ldots, T(v_{n-k})$ 是 $\operatorname{im} T$ 的基。

  • 生成：任取 $T(v)$，把 $v$ 按上面的基展开，落在 $\ker T$ 的那些项被 $T$ 杀掉，剩下 $T(v) = \sum_j c_j T(v_j)$。
  • 无关：若 $\sum_j c_j T(v_j) = 0$，则 $T\bigl(\sum_j c_j v_j\bigr) = 0$，即 $\sum_j c_j v_j \in \ker T$；把它用 $u_i$ 展开并与 $v_j$ 那部分的唯一性比较，得所有 $c_j = 0$。

  1. 于是 $\operatorname{rank} T = \dim \operatorname{im} T = n - k = \dim V - \operatorname{null} T$，移项即得

  $$\dim V = \operatorname{rank} T + \operatorname{null} T$$

  （另一条路：由第一同构定理 $\operatorname{im} T \cong V/\ker T$，而 $\dim(V/U) = \dim V - \dim U$ 由第 1 步的扩充直接得到 —— 两条路是同一件事的两种说法。）∎

  第 2 步的「无关」是最容易漏的一半：把无关性从 $V$ 的基搬到像上，用的是「$\ker T$ 已经作为基的一部分被单独列出」。

谁指向它（入边）

推出 1

• Steinitz 交换引理 ⟹ 本页推出
  交换引理 $\implies$ 维数良定义

  设 $\mathcal{B}$ 与 $\mathcal{B}'$ 是 $V$ 的两组基。

  1. 由 $\mathcal{B}$ 是基，它线性无关；由 $\mathcal{B}'$ 是基，它生成 $V$。于是由交换引理（取 $S = \mathcal{B}$、$T = \mathcal{B}'$）得 $|\mathcal{B}| \le |\mathcal{B}'|$。
  2. 交换两者的角色（$S = \mathcal{B}'$、$T = \mathcal{B}$）得 $|\mathcal{B}'| \le |\mathcal{B}|$。
  3. 由 Bernstein 定理（或直接用两个方向的单射）得 $|\mathcal{B}| = |\mathcal{B}'|$。

  于是映射 $\mathcal{B} \mapsto |\mathcal{B}|$ 不依赖基的选取，$\dim_K V := |\mathcal{B}|$ 是良定义的。∎

  ⚠ 上面第 1、2 步用的交换引理是有限版本；无限维时要用它的无限形式（或 Zorn 引理 + 基数算术），结论相同。

  这条边的意义是：「维数」不是定义出来的，是证出来的。图上把它单独立一个节点，就是为了留下这个证明 —— 而不是把它塞进 def.vs 的 notes 里一笔带过。

定义引用 1

• Steinitz 交换引理 → 本页定义引用

  维数的定义要用「基的势」这个词 —— 而「势是唯一的」正是 Steinitz 引理给出的。