Steinitz 交换引理

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 维数良定义推出
  交换引理 $\implies$ 维数良定义

  设 $\mathcal{B}$ 与 $\mathcal{B}'$ 是 $V$ 的两组基。

  1. 由 $\mathcal{B}$ 是基，它线性无关；由 $\mathcal{B}'$ 是基，它生成 $V$。于是由交换引理（取 $S = \mathcal{B}$、$T = \mathcal{B}'$）得 $|\mathcal{B}| \le |\mathcal{B}'|$。
  2. 交换两者的角色（$S = \mathcal{B}'$、$T = \mathcal{B}$）得 $|\mathcal{B}'| \le |\mathcal{B}|$。
  3. 由 Bernstein 定理（或直接用两个方向的单射）得 $|\mathcal{B}| = |\mathcal{B}'|$。

  于是映射 $\mathcal{B} \mapsto |\mathcal{B}|$ 不依赖基的选取，$\dim_K V := |\mathcal{B}|$ 是良定义的。∎

  ⚠ 上面第 1、2 步用的交换引理是有限版本；无限维时要用它的无限形式（或 Zorn 引理 + 基数算术），结论相同。

  这条边的意义是：「维数」不是定义出来的，是证出来的。图上把它单独立一个节点，就是为了留下这个证明 —— 而不是把它塞进 def.vs 的 notes 里一笔带过。

定义引用 1

• 维数良定义 用到 本页定义引用

  维数的定义要用「基的势」这个词 —— 而「势是唯一的」正是 Steinitz 引理给出的。

谁指向它（入边）

推出 1

• 向量空间的基 ⟹ 本页推出
  线性无关与生成的定义 $\implies$ 交换引理

  对 $n$ 归纳。$n = 0$ 平凡。

  归纳步。 设 $S = (v_1, \ldots, v_n)$ 线性无关、$T = (w_1, \ldots, w_m)$ 生成 $V$。

  1. 把 $v_1$ 用 $T$ 表出：$v_1 = \sum_j a_j w_j$。由 $v_1 \ne 0$（无关集不含零向量），某个 $a_j \ne 0$；重排下标设 $a_1 \ne 0$。
  2. 于是 $w_1 = a_1^{-1}\bigl( v_1 - \sum_{j \ge 2} a_j w_j \bigr)$ 可由 $T' := (v_1, w_2, \ldots, w_m)$ 表出，所以 $T'$ 仍生成 $V$（$T$ 中每个元素都能用 $T'$ 表出，而 $V$ 由 $T$ 生成）。
  3. 对 $S' := (v_2, \ldots, v_n)$ 与生成集 $T'$（$n - 1$ 与 $m$ 个元素）用归纳假设：得 $n - 1 \le m$，即 $n \le m + 1$，且可以从 $T'$ 中删 $n - 1$ 个换入 $S'$ 仍生成。
  4. 合并第 2、3 步：从 $T$ 中删去 $w_1$ 与那 $n - 1$ 个，换入 $v_1, \ldots, v_n$，仍生成 $V$。

  （归纳假设给出的其实是 $n - 1 \le m$，要得到 $n \le m$ 需要一个更精细的归纳陈述：若 $S$ 无关、$T$ 生成，则 $|S| \le |T|$ 且可交换。上面的第 3 步用 $T'$ 而非 $T$ 正是为此 —— 交换掉 $v_1$ 之后生成集的势没有变。）∎

  基的存在性：取 $T =$ 一组有限生成集、$S = \emptyset$ 逐步扩，或直接对无关集用 Zorn 引理（无限维情形），即得「每个向量空间有基」。

  交换引理的全部技巧在第 2 步：用一个无关向量替换掉生成集里的一个向量，生成性不丢。这件事能反复做，正是「无关的可以往生成集里塞」的来源。