# M_n(K) 是环　`thm.matrix-ring`
定理：$M_n(K)$ 是环，对加法构成 $K$-向量空间
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在 $M_n(K)$ 上定义逐分量加法与矩阵乘法。则

- $(M_n(K), +)$ 是阿贝尔群（零元是零矩阵）；
- 乘法结合、对加法双向分配、有单位元 $I_n$（对角为 $1$、其余为 $0$）；
- 于是 $M_n(K)$ 是**环**，而且是 $K$-代数（加法与数乘使它成为 $K$-向量空间，乘法与之相容）。

⚠ 乘法**不交换**（$n \ge 2$ 时），所以它是非交换环。

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/thm.matrix-ring.2.md](./thm.matrix-ring.2.md)

refs: Lang, Linear Algebra；Hoffman–Kunze, Linear Algebra, Ch. 1

> 说明见 `notes/thm.matrix-ring.md`

引用：`thm.matrix-ring`（内容 v0.9.1）· CC BY 4.0 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)