对偶空间

对偶空间 $V^{\ast}$ （Dual Space）

def.dual-space · 定义 · 线性代数

陈述

设 $V$ 是 $K$ -向量空间。 $V$ 的对偶空间定义为从 $V$ 到 $K$ 的线性映射全体：

V^{\ast} := \operatorname{Hom}_K(V, K)

其中元素叫线性泛函。 $V^{\ast}$ 按逐点和与逐点数乘成为向量空间。

若 $T : V \to W$ 线性，定义转置（或对偶）映射

T^{\ast} : W^{\ast} \to V^{\ast}, \qquad \varphi \longmapsto \varphi \circ T

它线性，且 $(S \circ T)^{\ast} = T^{\ast} \circ S^{\ast}$ （反变）。

⭐ 注意方向： $T : V \to W$ 的对偶 $T^{\ast}$ 是 $W^{\ast} \to V^{\ast}$ ，箭头反过来。这就是「对偶」这一词的全部含义，也与 $(-)^{\ast}$ 作为反变函子的地位一致。

⭐ 有限维时 $V \cong V^{\ast}$ （等维），但没有自然的同构 —— 要找同构必须先选一组基。而 $V \cong V^{\ast\ast}$ 有自然同构 $v \mapsto (\varphi \mapsto \varphi(v))$ ，这是「对偶的对偶回到自己」。

⚠ 无限维时 $V^{\ast}$ 严格大于 $V$ （ $\dim V^{\ast} = |K|^{\dim V}$ ），所以上述同构不成立。