零化度

设 $\dim V = n < \infty$。

1. 取 $\ker T$ 的一组基 $u_1, \ldots, u_k$（$k = \operatorname{null} T$），并把它扩充成 $V$ 的一组基

（扩充的合法性：Steinitz 交换引理 / 「每个线性无关集都能扩充成基」）。

1. 断言 $T(v_1), \ldots, T(v_{n-k})$ 是 $\operatorname{im} T$ 的基。

• 生成：任取 $T(v)$，把 $v$ 按上面的基展开，落在 $\ker T$ 的那些项被 $T$ 杀掉，剩下 $T(v) = \sum_j c_j T(v_j)$。
• 无关：若 $\sum_j c_j T(v_j) = 0$，则 $T\bigl(\sum_j c_j v_j\bigr) = 0$，即 $\sum_j c_j v_j \in \ker T$；把它用 $u_i$ 展开并与 $v_j$ 那部分的唯一性比较，得所有 $c_j = 0$。

1. 于是 $\operatorname{rank} T = \dim \operatorname{im} T = n - k = \dim V - \operatorname{null} T$，移项即得

（另一条路：由第一同构定理 $\operatorname{im} T \cong V/\ker T$，而 $\dim(V/U) = \dim V - \dim U$ 由第 1 步的扩充直接得到 —— 两条路是同一件事的两种说法。）∎