第一同构定理（向量空间版）

设 $\dim V = n < \infty$。

1. 取 $\ker T$ 的一组基 $u_1, \ldots, u_k$（$k = \operatorname{null} T$），并把它扩充成 $V$ 的一组基

（扩充的合法性：Steinitz 交换引理 / 「每个线性无关集都能扩充成基」）。

1. 断言 $T(v_1), \ldots, T(v_{n-k})$ 是 $\operatorname{im} T$ 的基。

• 生成：任取 $T(v)$，把 $v$ 按上面的基展开，落在 $\ker T$ 的那些项被 $T$ 杀掉，剩下 $T(v) = \sum_j c_j T(v_j)$。
• 无关：若 $\sum_j c_j T(v_j) = 0$，则 $T\bigl(\sum_j c_j v_j\bigr) = 0$，即 $\sum_j c_j v_j \in \ker T$；把它用 $u_i$ 展开并与 $v_j$ 那部分的唯一性比较，得所有 $c_j = 0$。

1. 于是 $\operatorname{rank} T = \dim \operatorname{im} T = n - k = \dim V - \operatorname{null} T$，移项即得

（另一条路：由第一同构定理 $\operatorname{im} T \cong V/\ker T$，而 $\dim(V/U) = \dim V - \dim U$ 由第 1 步的扩充直接得到 —— 两条路是同一件事的两种说法。）∎

令 $\overline{T}(v + \ker T) := T(v)$。

1. 良定义：若 $v + \ker T = v' + \ker T$，则 $v - v' \in \ker T$，即 $T(v - v') = 0$，由线性得 $T(v) = T(v')$。所以 $\overline{T}$ 只依赖陪集。
2. 线性：$\overline{T}\bigl((v + \ker T) + c(v' + \ker T)\bigr) = \overline{T}\bigl((v + cv') + \ker T\bigr) = T(v + cv') = T(v) + cT(v')$。
3. 单射：若 $\overline{T}(v + \ker T) = 0$，则 $T(v) = 0$，即 $v \in \ker T$，于是 $v + \ker T$ 是零陪集。故 $\ker \overline{T} = \{0\}$，$\overline{T}$ 单。
4. 满射：$\operatorname{im} \overline{T} = \operatorname{im} T$ 由定义直接得到。

四步齐备，$\overline{T}$ 是线性同构，$V/\ker T \cong \operatorname{im} T$。∎