张量积的万有性质

定理：张量积把双线性映射换成线性映射

定理
依赖深度 layer 12
抽象代数
多重线性与张量

thm.tensor-universal-property · 定理 · 线性代数 · 张量

陈述

对每个线性映射（更一般地：双线性映射） $B : V \times W \to U$ ，存在唯一的线性映射

\widetilde{B} : V \otimes W \to U, \qquad \widetilde{B}(v \otimes w) = B(v, w)

反之，任何线性映射 $\widetilde B$ 与 $\otimes$ 复合都给出双线性映射。于是有自然的同构

\operatorname{Hom}_K(V \otimes W,\ U) \;\cong\; \operatorname{Bil}(V, W; U)

（对每个 $U$ 自然，这就是「张量积是双线性函子的表示」）

说明

⭐ 一句话：张量积是「多变量线性」的线性化装置 —— 所有双线性的东西，只要写成 $V \otimes W$ 上的映射就自动变成线性的，后面整套线性代数都能用。

⭐ 「唯一」是万有性质的核心：它保证 $V \otimes W$ 在同构唯一的意义下被确定（存在性给构造、唯一性给「不依赖构造」）。这也是图上「同一招」第三次出现（张量积、商空间、外幂各一次）。

⭐ 任意交换环上也成立（prop.module-tensor-universal），系数域只是最简单的情形。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 张量 ⊣ 内 Hom推出

万有性质 $\implies$ 张量 ⊣ 内 Hom

由万有性质，对一切 $W, U$ ：
$\operatorname{Hom}(W \otimes V, U) \cong \operatorname{Bil}(W, V; U)$
另一方面，双线性映射与「取值在线性映射里的线性映射」一一对应（curry 化）：给定 $B : W \times V \to U$ ，对每个 $w$ 得到 $B(w, -) \in \operatorname{Hom}(V, U)$ ，且 $w \mapsto B(w, -)$ 线性 —— 这个对应是双射。于是
$\operatorname{Bil}(W, V; U) \cong \operatorname{Hom}\bigl( W, \operatorname{Hom}(V, U) \bigr)$
两式复合即得所要的同构，且逐条验证它对 $W, U$ 自然（同构由「 $w \mapsto$ 那个线性映射」显式给出，与别的变元无关）。∎

整条证明没有用到 $V$ 的有限维（这是纯范畴论的事实），只用到张量积的万有性质。

谁指向它（入边）

推出 1

张量积、商空间 ⟹ 本页推出

张量积的构造 $\implies$ 万有性质

存在性：给定双线性 $B : V \times W \to U$ 。先在 $V \times W$ 生成的自由向量空间（形式上取全部 $(v, w)$ 的形式线性组合）上定义 $\widehat B\bigl( \sum c_{ij}(v_i, w_j) \bigr) := \sum c_{ij} B(v_i, w_j)$ ，这是线性的；再由 $B$ 的双线性， $\widehat B$ 在「双线性关系」张成的子空间上取零，于是由商空间的万有性质（thm.quotient-universal-vs）它唯一地下降为 $\widetilde B : V \otimes W \to U$ 。
唯一性：任何满足 $\widetilde B(v \otimes w) = B(v, w)$ 的线性映射在可分解张量上取值已定；而可分解张量张成 $V \otimes W$ ，故线性映射被取值唯一确定。
反向：给定线性 $\widetilde B$ ，则 $B := \widetilde B \circ \otimes$ 是双线性的（因为 $\otimes$ 双线性）。
两个方向互逆且自然，故 $\operatorname{Hom}(V \otimes W, U) \cong \operatorname{Bil}(V, W; U)$ 。∎

结尾的「自然」两字是伴随的入口：正因为同构对 $U$ （以及 $V, W$ ）自然，张量积才是一个真正的函子层面的构造，而不仅是「某个具体的商空间」。

参考

Lang, Algebra, Ch. XVI

同一星团的其他概念 8 个

继续

在星图里打开「张量积的万有性质」　·　全部 870 个概念　·　 Markdown 原文　·　读图指南与记号表