张量积

向量空间的张量积 $V \otimes W$

定义
依赖深度 layer 11
抽象代数
多重线性与张量

def.tensor-product-vs · 定义 · 线性代数 · 张量

陈述

设 $V, W$ 是 $K$ -向量空间。取它们的一组基 $(e_i)$ 、 $(f_j)$ ，定义形式符号 $e_i \otimes f_j$ 的形式线性组合全体

V \otimes_K W := \Bigl\{\, \sum_{i, j} c_{ij}\, e_i \otimes f_j \,\Bigr\}

配上双线性映射 $\otimes : V \times W \to V \otimes W$ 、 $v \otimes w$ ，满足

(v + v') \otimes w = v \otimes w + v' \otimes w, \qquad v \otimes (w + w') = v \otimes w + v \otimes w', \qquad (cv) \otimes w = v \otimes (cw)

则 $\dim(V \otimes W) = (\dim V)(\dim W)$ ，且这个构造不依赖基的选取（见万有性质）。

说明

⭐ 元素分两类：可分解张量 $v \otimes w$ 与它们的有限和。后者才填满整个 $V \otimes W$ —— 「一般张量不是单个 $v \otimes w$ 」是初学者最常踩的坑。

⚠ $v \otimes w = 0$ 可以发生在 $v \ne 0, w \ne 0$ 时吗？不可以（张量积是自由构造，基底是 $e_i \otimes f_j$ ）。这与「不可分解为纯张量」是两件事。

⭐ 张量积是对称的（ $V \otimes W \cong W \otimes V$ ）且结合的，单位元是 $K$ （ $V \otimes K \cong V$ ）—— 于是有限维向量空间配上 $\otimes$ 构成一个对称幺半范畴。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 张量积的万有性质推出

张量积的构造 $\implies$ 万有性质

存在性：给定双线性 $B : V \times W \to U$ 。先在 $V \times W$ 生成的自由向量空间（形式上取全部 $(v, w)$ 的形式线性组合）上定义 $\widehat B\bigl( \sum c_{ij}(v_i, w_j) \bigr) := \sum c_{ij} B(v_i, w_j)$ ，这是线性的；再由 $B$ 的双线性， $\widehat B$ 在「双线性关系」张成的子空间上取零，于是由商空间的万有性质（thm.quotient-universal-vs）它唯一地下降为 $\widetilde B : V \otimes W \to U$ 。
唯一性：任何满足 $\widetilde B(v \otimes w) = B(v, w)$ 的线性映射在可分解张量上取值已定；而可分解张量张成 $V \otimes W$ ，故线性映射被取值唯一确定。
反向：给定线性 $\widetilde B$ ，则 $B := \widetilde B \circ \otimes$ 是双线性的（因为 $\otimes$ 双线性）。
两个方向互逆且自然，故 $\operatorname{Hom}(V \otimes W, U) \cong \operatorname{Bil}(V, W; U)$ 。∎

结尾的「自然」两字是伴随的入口：正因为同构对 $U$ （以及 $V, W$ ）自然，张量积才是一个真正的函子层面的构造，而不仅是「某个具体的商空间」。

定义引用 2

外代数用到本页定义引用

外代数是张量代数 $V^{\otimes\bullet}$ 的商（商掉 $v \otimes v$ 型的元素）。
对称代数用到本页定义引用

对称代数同样是张量代数的商（商掉 $v \otimes w - w \otimes v$ ）。

谁指向它（入边）

定义引用 1

双线性型 → 本页定义引用

张量积的万有性质就是「把双线性映射换成线性映射」——对象是双线性映射。

参考

Lang, Algebra, Ch. XVI
Roman, Advanced Linear Algebra, Ch. 14

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