行列式 = 最高外幂上的作用

谁指向它（入边）

推出 1

• 外幂、行列式的存在唯一性 ⟹ 本页推出
  外幂的一维性 + 存在唯一性 $\implies$ 行列式就是那个系数

  设 $\dim V = n$。

  1. $\bigwedge^{n}V$ 是一维的：取 $V$ 的基 $e_1, \ldots, e_n$，则 $\{e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_n}\}$ 中只有 $i_1, \ldots, i_n$ 互异的那些非零，即只有 $e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$ 一个（差符号），故 $\dim \bigwedge^{n}V = 1$。
  2. 一维空间上的线性映射就是乘一个数：设 $\dim L = 1$、$\varphi : L \to L$ 线性，取 $0 \ne \ell \in L$，则 $\varphi(\ell) = c\,\ell$ 对某个 $c$；对任意 $t\ell$ 有 $\varphi(t\ell) = t\varphi(\ell) = tc\ell$，故 $\varphi$ 就是「乘 $c$」。
  3. 定出那个数：定义 $D(v_1, \ldots, v_n) :=$ 满足 $T(v_1)\wedge\cdots\wedge T(v_n) = D\cdot(e_1\wedge\cdots\wedge e_n)$ 的系数（先固定 $v_i = e_i$ 定义，再对一般 $v_i$ 用交错多重线性延拓）。逐条验证 $D$ 满足多重线性、交错、规范化三条公理，由行列式的存在唯一性得 $D = \det T$。

  于是 $(\bigwedge^{n}T)(v_1 \wedge \cdots \wedge v_n) = (\det T)(v_1 \wedge \cdots \wedge v_n)$。∎

  第 3 步的做法值得记住：先把「一维空间上的系数」定义出来，再用存在唯一性把它认成行列式 —— 这样就不必真的去算那个系数。