# 行列式 = 最高外幂上的作用　`thm.det-as-exterior`
定理：行列式就是 $T$ 在 $\bigwedge^{n}V$ 上的作用
layer 12 · 定理 · 多重线性与张量 · 抽象代数
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设 $\dim_K V = n < \infty$，$T : V \to V$ 线性。因为 $\dim \bigwedge^{n} V = 1$，$T$ 诱导出的一维空间上的线性映射

$$\bigl( \textstyle\bigwedge^{n} T \bigr) : \bigwedge^{n} V \to \bigwedge^{n} V, \qquad v_1 \wedge \cdots \wedge v_n \mapsto T(v_1) \wedge \cdots \wedge T(v_n)$$

必是「乘一个数」。那个数正是行列式：
> 陈述续见 [nodes/thm.det-as-exterior.2.md](./thm.det-as-exterior.2.md)


## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/thm.det-as-exterior.3.md](./thm.det-as-exterior.3.md)

refs: Lang, Algebra, Ch. XIX；Roman, Advanced Linear Algebra, Ch. 14

> 说明见 `notes/thm.det-as-exterior.md`

引用：`thm.det-as-exterior`（内容 v0.9.1）· CC BY 4.0 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)