对称代数

对称代数 $\operatorname{Sym}^{\bullet} V$

定义
依赖深度 layer 12
抽象代数
多重线性与张量

def.symmetric-algebra · 定义 · 线性代数 · 张量

陈述

与外幂平行地，对称幂定义为 $V^{\otimes k}$ 商掉由 $v \otimes w - w \otimes v$ 张成的子空间，记像为 $v \cdot w$ （交换）；再把各次直和起来得对称代数

\operatorname{Sym}^{\bullet} V := \bigoplus_{k \ge 0} \operatorname{Sym}^{k} V

它是一个交换分次代数，并且

\dim \operatorname{Sym}^{k} V = \binom{n + k - 1}{k}, \qquad \operatorname{Sym}^{\bullet} V \cong K[x_1, \ldots, x_n] \ (n = \dim V)

说明

⭐ 三个「 $V^{\otimes \bullet}$ 的商」构成一张完整的表：

全不商 $\implies$ 张量代数 $T^{\bullet}V$ （非交换、自由）；
商掉 $vw - wv$ $\implies$ 对称代数 $\operatorname{Sym}^{\bullet}V \cong K[x_1, \ldots, x_n]$ （交换）；
商掉 $vw + wv$ $\implies$ 外代数 $\bigwedge^{\bullet}V$ （分次交换）。

⭐ « $\operatorname{Sym}^{\bullet}V \cong K[x_1,\ldots,x_n]$ » 说明多项式环不是凭空造出来的 —— 它就是「 $n$ 维空间的对称代数」。这解释了为什么多项式与多重线性型的关系这么紧（也回到 def.polynomial-ring）。

⭐ 二重线性型的分类（对称 / 交错）在代数层面的化身就是这两个商。

谁指向它（入边）

定义引用 1

张量积 → 本页定义引用

对称代数同样是张量代数的商（商掉 $v \otimes w - w \otimes v$ ）。

参考

Lang, Algebra, Ch. XIX

同一星团的其他概念 8 个

继续

在星图里打开「对称代数」　·　全部 870 个概念　·　 Markdown 原文　·　读图指南与记号表