外幂

外幂 $\bigwedge^{k} V$

定义
依赖深度 layer 11
抽象代数
多重线性与张量

def.exterior-power · 定义 · 线性代数 · 张量

陈述

设 $V$ 是 $K$ -向量空间。 $V$ 的 $k$ 次外幂 $\bigwedge^{k} V$ 是 $V^{\otimes k}$ 商掉由

v_1 \otimes \cdots \otimes v_k \quad \text{with}\ v_i = v_j\ (i \ne j)

张成的子空间所得的商空间；记像为 $v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$ 。于是

v \wedge v = 0, \qquad v \wedge w = -\, w \wedge v

并且 $\dim \bigwedge^{k} V = \binom{n}{k}$ （ $n = \dim V$ ）； $k > n$ 时 $\bigwedge^{k}V = 0$ 。

说明

⭐ 几何含义： $\dim V = n$ 时 $\bigwedge^{n} V$ 是一维的，而 $v_1 \wedge \cdots \wedge v_n$ 正是「这 $n$ 个向量张成的平行体的有向体积」——它的系数就是行列式。

⭐ 交错性是「商掉」实现的： $v \wedge v = 0$ （把 $v \otimes v$ 送进商），这正是 def.alternating-form 那一条里「两个变元相等则为零」。

⚠ 特征 $2$ 的域里 $v \wedge w = -w \wedge v$ 与 $v \wedge w = w \wedge v$ 是同一句话（ $-1 = 1$ ），交错与对称不再可分。本图默认 $\operatorname{char} K \ne 2$ 。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 行列式 = 最高外幂上的作用推出

外幂的一维性 + 存在唯一性 $\implies$ 行列式就是那个系数
设 $\dim V = n$ 。
1. $\bigwedge^{n}V$ 是一维的：取 $V$ 的基 $e_1, \ldots, e_n$ ，则 $\{e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_n}\}$ 中只有 $i_1, \ldots, i_n$ 互异的那些非零，即只有 $e_1 \wedge \cdots \wedge e_n$ 一个（差符号），故 $\dim \bigwedge^{n}V = 1$ 。
2. 一维空间上的线性映射就是乘一个数：设 $\dim L = 1$ 、 $\varphi : L \to L$ 线性，取 $0 \ne \ell \in L$ ，则 $\varphi(\ell) = c\,\ell$ 对某个 $c$ ；对任意 $t\ell$ 有 $\varphi(t\ell) = t\varphi(\ell) = tc\ell$ ，故 $\varphi$ 就是「乘 $c$ 」。
3. 定出那个数：定义 $D(v_1, \ldots, v_n) :=$ 满足 $T(v_1)\wedge\cdots\wedge T(v_n) = D\cdot(e_1\wedge\cdots\wedge e_n)$ 的系数（先固定 $v_i = e_i$ 定义，再对一般 $v_i$ 用交错多重线性延拓）。逐条验证 $D$ 满足多重线性、交错、规范化三条公理，由行列式的存在唯一性得 $D = \det T$ 。
于是 $(\bigwedge^{n}T)(v_1 \wedge \cdots \wedge v_n) = (\det T)(v_1 \wedge \cdots \wedge v_n)$ 。∎
第 3 步的做法值得记住：先把「一维空间上的系数」定义出来，再用存在唯一性把它认成行列式 —— 这样就不必真的去算那个系数。

谁指向它（入边）

定义引用 1

交错型 → 本页定义引用

外幂的「交错」性质（ $v \wedge v = 0$ ）与交错型是同一个条件的两副面孔：一个是代数里的乘法，一个是多重线性型的取值。

参考

Lang, Algebra, Ch. XIX
Roman, Advanced Linear Algebra, Ch. 14

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