张量 ⊣ 内 Hom

谁指向它（入边）

推出 1

• 张量积的万有性质 ⟹ 本页推出
  万有性质 $\implies$ 张量 ⊣ 内 Hom

  由万有性质，对一切 $W, U$：

  $$\operatorname{Hom}(W \otimes V, U) \cong \operatorname{Bil}(W, V; U)$$

  另一方面，双线性映射与「取值在线性映射里的线性映射」一一对应（curry 化）：给定 $B : W \times V \to U$，对每个 $w$ 得到 $B(w, -) \in \operatorname{Hom}(V, U)$，且 $w \mapsto B(w, -)$ 线性 —— 这个对应是双射。于是

  $$\operatorname{Bil}(W, V; U) \cong \operatorname{Hom}\bigl( W, \operatorname{Hom}(V, U) \bigr)$$

  两式复合即得所要的同构，且逐条验证它对 $W, U$ 自然（同构由「$w \mapsto$ 那个线性映射」显式给出，与别的变元无关）。∎

  整条证明没有用到 $V$ 的有限维（这是纯范畴论的事实），只用到张量积的万有性质。